§4. Свойства бинарных отношений

В этом разделе будут рассматриваться некоторые свойства бинарных отношений , определенных на множестве М, т.е. случай, когда .

Определение 1. Бинарное отношение , определенное на множестве М, называется рефлексивным, если любой элемент из М находится в отношении с самим собой, т.е. в М истинно высказывание

.

Определение 2. Бинарное отношение , определенное на множестве М, называется антирефлексивным (иррефлексивным), если ни один элемент из М не находится в отношении с самим собой, т.е. в М истинно высказывание

.

Из определений 1 и 2 следует, что:

1) отношение рефлексивно тогда и только тогда, когда в его графе все элементы имеют петлю;

2) отношение антирефлексивно тогда и только тогда, когда в его графе ни один элемент не имеет петли.

Если не рефлексивно, то в его графе есть элемент без петли. В частности, антирефлексивное отношение не рефлексивно. Если не антирефлексивно, то в его графе есть элементы с петлей. В частности, если рефлексивно, то оно не антирефлексивно. Если в графе отношения есть элементы с петлей и без петли, то не рефлексивно и не антирефлексивно.

Рефлексивным является бинарное отношение: , состоящее из всевозможных пар с одинаковыми компонентами и называемое отношением равенства множества . Каждый элемент графа этого отношения имеет петлю и не имеет ни одной стрелки.

Понятно, что при координатном способе отношение равенства изображается точками диагонали первого координатного угла (поэтому Δ называют иногда диагональю). Например, если и , т.е. , то отношение изображается диагональю следующего квадрата:

Рис. 1.

Если , то Δ изображается в точности (бесконечной) диагональю первого координатного угла и является отношением равенства на множестве R действительных чисел.

Т е о р е м а 1. Бинарное отношение рефлексивно тогда и только тогда, когда ; антирефлексивно тогда и только тогда, когда .

Определение 3. Бинарное отношение , определенное на множестве М, называется симметричным, если для любых элементов и из справедлива импликация

.

Ясно, что бинарное отношение симметрично тогда и только тогда, когда его граф обладает следующим свойством: если есть стрелка от элемента к элементу , то обязательно есть стрелка от к .

Определение 4. Бинарное отношение , определенного на множестве М, называется антисимметричным, если для любых элементов и из истинна импликация

.

Граф антисимметричного отношения характеризуется тем, что если есть стрелка от элемента к элементу и , то нет стрелки от к .

Полезно также рассмотреть симметричность и антисимметричность при координатном способе изображения отношений. Так как точки и симметричны относительно диагонали, то симметричность означает, что множество изображающих это отношение точек симметрично относительно диагонали. Антисимметричность означает, что любое подмножество множества , кроме , не симметрично относительно диагонали Δ точка не принадлежит . На следующем рисунке:

Рис. 2.

отношение симметрично; не симметрично и не антисимметрично; антисимметрично; – симметрично и антисимметрично.

Подчеркнем, что если , то оно и симметрично, и антисимметрично. Действительно, в этом случае в импликации

посылка ложна, а значит, импликация истинна. Для характеристики антисимметричности полезно знать другой признак.

Т е о р е м а 2. Бинарное отношение , определенное на множестве М, антисимметрично тогда и только тогда, когда для любых элементов и из справедлива импликация

.

□ Для любых предикатов имеем

.

Полагая здесь , и , получим доказательство теоремы 2.

Определение 5. Отношение на множестве М называется транзитивным, если для любых элементов , и из справедлива импликация

.

Граф транзитивного отношения характеризуется следующим свойством: если есть стрелка от к и от к , то обязательно есть стрелка от к .

Определение 6. Элементы и множества М называется сравнимыми относительно отношения , определенного на множестве М, если , или .

Определение 7. Отношение на множестве М называется связным, если в М любые два различных элемента и из М сравнимы, т.е. в М истинна импликация

.

Граф связного отношения характеризуется следующим свойством: если элементы и различны, то обязательно есть стрелка либо от к , либо от к .

Примеры. 1) Естественное отношение на множестве R рефлексивно, не антирефлексивно, антисимметрично, не симметрично, транзитивно и связно; отношение – антирефлексивно, не рефлексивно, не симметрично, антисимметрично, транзитивно и связно.

2) Отношение на R не рефлексивно, не антирефлексивно, симметрично, не антисимметрично, не транзитивно и не связно.

3) Отношение параллельности на множестве прямых плоскости рефлексивно (если совпадающие прямые считать параллельными), не антирефлексивно, симметрично, не антисимметрично, транзитивно и не связно.

4) Подобие фигур – отношение с тем же свойствами, что и в примере 3.

5) Перпендикулярность прямых – антирефлексивное, не рефлексивное, симметричное, не антисимметричное, транзитивное и не связное отношение.

6) Отношение на множестве N рефлексивно, не антирефлексивно, не симметрично, антисимметрично, транзитивно и не связно.

7) Отношение логического следования для формул алгебры высказываний рефлексивно, не антирефлексивно, не симметрично, не антисимметрично, транзитивно и не связно; отношение логической равносильности рефлексивно, не антирефлексивно, симметрично, не антисимметрично, транзитивно и не связно.