§2. Функции и отображения

Рассмотрим примеры бинарных отношений , графы которых обладают следующим свойством: из каждого элемента множества А выходит не более одной стрелки, т.е. либо одна, либо ни одной. Такие отношения называются функциональными отношениями или функциями.

1. Понятия функции и отображения.

Определение 1. Бинарное отношение называется функцией из в , если для любого элемента из существует не более одного элемента y из B такого, что .

Учитывая, что в случае, когда , говорят, что бинарное отношение элементу ставит в соответствие элемент , можно дать более привычное определение функции, эквивалентное определению 1.

Определение . Бинарное отношение называется функцией из в B, если для любого элемента из найдется не более одного соответствующего ему при элемента из .

Это определение можно сформулировать немного иначе.

Определение . Бинарное отношение называется функцией из в B, если любому элементу из области определения ставит в соответствие единственный элемент из .

Понятно, что свойство быть функцией из в для бинарного отношения эквивалентно следующему свойству:

. (1)

На языке графов свойство (1) означает, что ни из какого элемента множества не может выходить более одной стрелки.

Тот факт, что бинарное отношение является функцией из в , будем обозначать посредством . Если – функция, то вместо будем использовать более привычную запись и называть элемент аргументом функции , а элемент значением функции от аргумента . Иногда в этом случае будем писать .

Символически определение функции можно записать следующим образом:

– функция . (2)

Функции и считаются равными, если они равны как бинарные отношения, т.е. как подмножества . Более естественным является следующее

Определение 2. Функции и называются равными, если для любого элемента из либо значения обеих функций не определены, либо совпадают.

Можно дать и такое

Определение . Функции и называются равными, если области определения этих функций совпадают и для любого элемента из области их определения значения этих функций равны.

Символически определение равенства функций и можно записать так:

. (3)

В математике важное место занимают бинарные отношения , графы которых обладают следующим свойством: из каждого элемента множества выходит в точности одна стрелка. Такие отношения называются отображениями в .

Определение 3. Бинарное отношение называется отображением в , если для любого элемента x из существует единственный соответствующий ему при элемент из .

Таким образом, если каждому элементу множества каким-нибудь образом соответствует единственный элемент множества , то можно говорить, что определено отображение в .

Символически определение отображения можно записать следующим образом:

– отображение . (4)

Понятно, что всякое отображение в является функцией из в B, у которой область определения совпадает с множеством A. Таким образом, можно дать другое определение отображения.

Определение . Отображением множества во множество называется любая функция из в , у которой область определения совпадает с .

Символически это определение можно записать следующим образом:

– отображение – функция и . ( )

Отметим, что ограничение любой функции на является отображением в B . Другими словами, любая функция из в является отображением свой области определения во множество .

Прежде чем приводить примеры, заметим, что поскольку функции и отображения являются бинарными отношениями, то их можно задавать перечислением элементов (т.е. соответствующих упорядоченных пар), графами и указанием характеристического свойства.

Пример 1. Пусть , и бинарное отношение задано следующим графом:

Рис. 1.

Тогда – отображение в , так как из каждого элемента множества выходит единственная стрелка.

Пример 2. Пусть A=B= N и . Тогда – отображение N в N, при котором .

Пример 3. Пусть и . Тогда – функция из R в R, для которой , но не отображение R в R, так для чисел 1 и –1 функция не определена.

Поскольку отображения являются функциями, то для них обычно используются те же обозначения, но несколько меняется терминология. Так, например, если – отображение и , то элемент называют образом элемента , а элемент х – прообразом элемента у. Множество всех образов элементов из подмножества множества является подмножеством множества ; его называют образом при отображении и обозначают . Таким образом, .

Аналогично, если , то множество всех прообразов всех элементов из называют прообразом подмножества и обозначают . Таким образом, . Ясно, что является подмножеством множества .

Если в примере 1 взять , то , а если , то .

Согласно определению 3, если – отображение, то каждый элемент из имеет единственный образ. Но из примера 1 видно, что не всякий элемент обязан иметь прообраз, а если прообраз есть, то он не обязательно единственный. В связи с этим можно выделить несколько типов отображений. Аналогичные типы можно выделить и для функций, а потому мы будем давать соответствующие определения для функций.

Определение 4. Функция называется инъективной, если ее значения для различных элементов из области определения не совпадают, т.е. если справедливо следующее свойство:

. (5)