Глава IV. Бинарные отношения

Математика по существу изучает различные типы отношения между элементами различных множеств. Особую роль при этом играют отношения между элементами двух или трех множеств. В первом случае говорят о бинарных отношениях, во втором – о тернарных отношениях. Основной задачей этой главы является определение бинарного отношения, указание способов его задания и его свойств, выделение таких важных типов бинарных отношений как функции и отображения, отношения эквивалентности и порядка. Отдельный раздел посвящается бинарным алгебраическим операциям (т.е. специальному виду тернарных отношений), играющим важную роль в алгебре.

§1. Понятие бинарного отношения и способы его задания

Для обозначения связи между элементами одного или нескольких множеств в математике и в обыденной речи употребляю термин «отношение». Рассмотрим некоторые примеры.

1. «Число a меньше числа b» (отношение между двумя числами).

2. «Прямая a параллельна прямой b» (отношение между двумя прямыми на плоскости).

3. «Студент старше студента » (отношение между двумя студентами).

4. «Прямая перпендикулярна плоскости » (отношение между двумя элементами различной природы: точками и плоскостями обычного геометрического пространства).

5. «Точка лежит между точками и » (отношение между тремя точками прямой).

Особенно большую роль в математике играют отношения между двумя элементами, которые называют бинарными.

Из примеров ясно, что два элемента и , где , , находятся в данном отношении, если и только если упорядоченная пара обладает некоторым свойством (например, , и т.д.). Значит, если задано подмножество , то оказывается определенным и некоторое бинарное отношение между элементами множеств и , которое будем обозначать тоже через . Очевидно и наоборот – если задано бинарное отношение между элементами множеств и , то тем самым определяется подмножество тех упорядоченных пар , элементы которых находятся в данном отношении . Эти рассуждения позволяют дать строгое определение понятия бинарного отношения.

Определение 1. Всякое подмножество декартова произведения называется бинарным отношением между элементами множеств и . При этом, если пара , то говорят, что х находится с у в отношении и пишут . Если же , то говорят, что х не находится с у в отношении и пишут . В частности, если , то говорят, что бинарное отношение задано на множестве .

Заметим, что если – бинарное отношение, то и дополнение является бинарным отношением. Поэтому запись можно прочитать еще и по-другому: «х находится с в отношении ».

Само множество тоже является бинарным отношением. Оно называется универсальным; будем обозначать его через . Очевидно, что для любого и любого .

Как и любые множества, бинарные отношения можно задавать либо перечислением элементов, либо указанием характеристического свойства. Для наглядности используются различные способы представления бинарных отношений, в том числе графическое изображение. Мы укажем три способа.

1. С помощью графов.

Элементы множеств и изображаются точками, а тот факт, что , изображается стрелкой, идущей от к . Если, в частности, , то всякий раз, когда , вокруг точки, изображающей х, рисуется петля.

Пример 1. Пусть , и бинарное отношение задано следующим образом: . Тогда изображается следующим графом:

Рис. 1.

Пример 2. Пусть , где , , , и бинарное отношение задано следующим образом: . Тогда изображается следующим графом:

Рис. 2.

2. Табличный (матричный) способ.

Суть этого способа в том, что рисуется таблица, в которой число столбцов на 1 больше, чем элементов в множестве , а число строк на 1 больше, чем элементов в множестве . В нижней строке выписывают элементы множестве , а в левом столбце – элементы множества В. Тогда для каждой упорядоченная пары в соответствующий квадратик вписывается число 1, если , и число 0, если . Получится таблица (матрица), состоящая из единиц и нулей, которая полностью характеризует наше отношение в том смысле, что если мы выберем упорядоченные пары элементов из , соответствующие всем единицам таблицы, то получим в точности наше отношение . Для примера 1 соответствующая таблица имеет следующий вид:

Таблица 1.

6	1	1	1	0
4	1	1	0	0
3	1	0	0	0
	2	3	5	8

3. Координатный способ.

Строятся две перпендикулярные прямые. На горизонтальной прямой изображаются (точками) элементы множества , на вертикальной – элементы множества . Тогда каждая упорядоченная пара изображается точкой пересечения перпендикуляров, проведенных из точек и . Если , то изображающая эту пару точка выделяется.

Этот метод широко используется в математической практике, как в школе, так и в вузе, в том числе и для бесконечных множеств. В самом деле, если , то уравнение всякой кривой на плоскости определяет бинарное отношение на множестве R, а график этой кривой есть графическое изображение этого отношения.

Изобразим отношения предыдущих примеров 1 и 2 координатным способом:

Рис. 3.

Пример 3. Пусть и – бинарные отношения на R, заданные следующим образом: и . Тогда координатный метод дает следующие графические изображения этих отношений:

Рис. 4.

Определение 2. Областью определения бинарного отношения называется множество

.

Определение 3. Множеством значений (областью прибытия) бинарного отношения называется множество

.

Ясно, что и . Графически область определения бинарного отношения совпадает с множеством элементов множества , из которых выходят стрелки, а множество значений – с множеством элементов множества , к которым приходят стрелки. Так в примере 1 , , а в примере 3 , , .

По аналогии с бинарными отношениями определяются тернарные отношения, как подмножества декартова произведения ; и вообще, n-арные отношения определяются как подмножества декартова произведения .

В заключение укажем на связь между предикатами и отношениями. Пусть – двухместный предикат, А – ОДЗ переменной х, В – ОДЗ переменной у. Этот предикат определяет бинарное отношение , содержащее те и только те пары , для которых является истинным высказыванием. Аналогично, трехместный предикат определяет тернарное отношение, и вообще, n-местный предикат определяет n‑арное отношение.