§4. Теоремы и их доказательство

Обычно теоремы имеют вид либо импликации , либо эквиваленции , где и – некоторые предикаты. Основной целью этого параграфа является указание основных методов доказательства таких теорем. Заметим, что мы, следуя традиции, употребляем привычную фразу «доказательство теоремы»; точнее было бы говорить не о доказательстве теоремы, а доказательстве того, что соответствующие предикаты и является тождественно истинными, т.е. являются теоремами.

1. Теоремы вида . Наиболее часто встречаются теоремы вида (если , то ), в которой называют условием, а – заключением теоремы . Доказать такую теорему – значит установить истинность импликации . Так как импликация всегда истинна при ложной посылке , то достаточно из истинности вывести истинность , т.е. показать, что из логически следует . Укажем некоторые схемы доказательства теорем вида .

1. С помощью цепочки истинных импликаций.

Свойство транзитивности импликации (см. § 2 гл. II) означает, что из истинности формулы обязательно вытекает истинность импликация . Таким образом, для доказательства истинности импликации достаточно установить истинность цепочки промежуточных импликаций и . Этот факт можно распространить на любое число промежуточных импликаций: из истинности импликаций , , …, , следует истинность импликации . Таким образом, для доказательства истинности теоремы достаточно установить истинность цепочки промежуточных импликаций , , …, , .

На самом деле, как уже отмечалось, для доказательства теоремы достаточно установить, что . Учитывая свойство транзитивности отношения следования, основной вывод предыдущего абзаца можно перефразировать в следующем виде: для доказательства истинности теоремы достаточно установить следующие логические следования: , , …, , .

2. С помощью закона контрапозиции.

С теоремой вида

(1)

связаны следующие теоремы:

(2) – обратная теорема по отношению к (1);

(3) – противоположная теорема по отношению к (1);

(4) – теорема, обратная противоположной теореме.

Очевидно, теорема является обратной по отношению к . Таким образом, теоремы (1) и (2) – взаимно обратны. Точно также теоремы (3) и (4) – взаимно обратны.

Далее, (1) и (3), а также (2) и (4) – взаимно противоположны. Наконец, теоремы (1) и (4), а также (2) и (3) являются обратно противоположными. В силу закона контрапозиции имеем следующие равносильности:

, .

Таким образом, теоремы, которые между собою обратно противоположны, являются равносильными. Этот закон называется законом контрапозиции.

Таким образом, если доказательство теоремы сложнее доказательства теоремы , то по закону контрапозиции можно доказывать вместо теоремы равносильную ей теорему , которую называют контрапозитивной по отношению к . Иногда такое доказательство не совсем точно называют доказательством от противного.

Пример 1.

(1) : «Если целое число оканчивается нулем, то »;

(2) : «Если , то оканчивается нулем»;

(3) : «Если оканчивается не нулем, то не делится на 5»;

(4) : «Если не делится на 5, то оканчивается не нулем»;

Здесь теоремы (1) и (4) – истинны, а теоремы (2) и (3) – ложны.

Из этого примера видно, что из истинности теоремы совсем необязательно следует истинность обратной теоремы. Одна из часто встречающихся ошибок в школьной, да и вузовской практике – это отождествления этих теорем. Часто, например, говорят: «Так как , то по теореме Пифагора треугольник со сторонами 6, 8, 10 – прямоугольный». В действительности это заключение следует не из теоремы Пифагора, а из теоремы, которая обратна теореме Пифагора и которая тоже истинна.

3. Доказательство теорем методом от противного.

Доказательство от противного теоремы основано на одной из следующих равносильностей:

; ,

где – некоторый вспомогательный предикат. Эти равносильности названы в § 2 гл. II законами доказательства от противного. Таким образом, теорему можно доказать, предположив истинность и ложность и с помощью логических рассуждений доказать, что выполняется хотя бы одно из следующих трех условий: 1) ложно, т.е. получить противоречие с предположением относительно ; 2) истинно, т.е. получить противоречие с предположением относительно ; 3) доказать одновременную истинность и ложность некоторого вспомогательного высказывания . Этот метод доказательства теорем вида называется доказательством от противного.

Пример 2. Доказать, что если и – целые числа, делится на 7 и делится на 7, то и сумма делится на 7.

□ Соответствующая теорема имеет вид , где условие есть предикат , а заключение – предикат . Установим тождественную истинность в предиката

методом от противного.

Предположим противное, т.е. что этот предикат не является тождественно истинным. Это означает, что существуют такие значения переменных , что высказывание ложно, т.е. посылка истинна, а заключение ложно. Имеем , , для некоторых , причем . Выражая из последнего равенства, получим . Отсюда следует, что не делится на 7. Получили противоречие: . Доказательство проходило по схеме , где есть предикат . В силу закона от противного справедлива теорема .

2. Теоремы вида .

Мы уже знаем, что . Таким образом, это тот случай, когда истинна и теорема , и обратная ей теорема . Формулируется эта теорема с помощью парных союзов: «Для необходимо и достаточно », « тогда и только тогда, когда », « если и только если ». Укажем два способа доказательства таких теорем.

1) Методом доказательство прямой и обратной теорем. При использовании этого метода для доказательства теоремы доказывают прямую теорему и называют это доказательством необходимости ( для ), и обратную теорему и называют это доказательством достаточности ( для ).

Пример 3. Для того, чтобы целое число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 3 и 5.

□ Соответствующая теорема имеет вид , где есть предикат , а – предикат . Установим тождественную истинность в предиката

.

Необходимость. .

Докажем эту теорему с помощью цепочки истинных импликаций:

.

Достаточность. .

Эта теорема будет вытекать из следующего свойства делимости взаимно простых чисел: если целое число делится на каждое из взаимно простых целых чисел и , то делится и на их произведение (оно будет доказано в курсах «Элементарная математика» и «Теория чисел»).

2) Доказательство с помощью цепочки истинных эквиваленций проводится по аналогии с доказательством при помощи цепочки истинных импликаций, основываясь на свойстве транзитивности эквиваленции.

Пример 4. Доказать, что .

□ Основываясь на универсальном методе доказательства равенства двух множеств и на выражении логической равносильности через эквивалентность, достаточно показать, что .

Имеем следующую цепочку логических эквивалентностей:

.

В самих теоремах вида или , как мы уже видели в примерах, предикаты и могут оказаться сложными, например, , и т.д.