§3. Логическое следование и логическая равносильность предикатов

Материал этого раздела во многом аналогичен материалу § 3 гл. I.

Определение 1. Говорят, что из предиката логически следует предикат и пишут , если для всякого допустимого набора значений входящих в них переменных, всякий раз, когда значение предиката есть истинное высказывание, таковым является и значение предиката .

В случае, когда говорят также, что предикат является логическим следствием предиката , или предикат логически влечет предикат .

Обратим внимание на то, что знак следования является не операцией над предикатами, а отношением между предикатами.

Легко понять, что справедлива

Т е о р е м а 1 (о свойствах логического следования для предикатов). Для предикатов , и справедливы следующие свойства:

. , т.е. отношение логического следования рефлексивно;

. если и , то , т.е. отношение логического следования для предикатов транзитивно;

. из любого предиката логически следует любой тождественно истинный предикат , т.е. .

Полезно иметь в виду следующее утверждение:

Т е о р е м а 2 (признак логического следования для предикатов). Предикат является логическим следствием предиката тогда и только тогда, когда импликация является тождественно истинным предикатом.

□ Пусть . Если для допустимого набора значений переменных логическое значение предиката есть 1, т.е. , то и , а поэтому . Если , то . Таким образом, в этом случае импликация является тождественно истинным предикатом.

Пусть есть тождественно истинный предикат и предположим, что предикат не является логическим следствием предиката . Тогда существует такой допустимый набор значений переменных, что и . Но тогда , что противоречит предположению.

Определение 2. Говорят, что из предикатов логически следует предикат и пишут , если для любого набора значений переменных , входящих в запись формул , высказывание истинно всякий раз, когда все высказывания истинны.

Например, очевидно, что .

На самом деле, как показывает нижеследующая теорема, логическое следование из нескольких предикатов можно заменить логическим следованием из одного предиката.

Т е о р е м а 3 . Для того чтобы предикат была логическим следствием предикатов , необходимо и достаточно, чтобы предикат был тождественно истинным.

□Доказательство вытекает из определения конъюнкции и теоремы 2.

Определение 3. Два предиката и называются логически равносильными (пишут ), когда каждый из них является логическим следствием другого.

Из определения 3 и теоремы 2 легко вытекает

Т е о р е м а 4 (признак логической равносильности для предикатов). Предикат логически равносилен предикату тогда и только тогда, когда эквиваленция является тождественно истинным предикатом.

Замечание. Непосредственно из вышесказанного заключаем, что понятия равносильности предикатов совпадают с понятием логической равносильности, т.е. тогда и только тогда, когда .