Основные равносильности формул алгебры высказываний

1.	;	.	;
(коммутативные законы)
2.	;	.	;
(ассоциативные законы)
3.	;	.	;
(дистрибутивные законы)
4.	;	.	;
(законы поглощения)
5.	;	.	;
(идемпотентные законы)
6.	;	.	;
(законы де Моргана)
7.	; (закон исключенного третьего)	.	; (закон противоречия)
8.	;	.	;
9.	;	.	;
10.	;	.	;

11. – закон двойного отрицания;

12. – закон исключения импликации;

13. – закон введения дизъюнкции;

14. – закон введения конъюнкции;

15. – закон замены эквиваленции;

16. – закон контрапозиции;

17. – закон противоположностей;

18. ; ; – законы доказательства от противного;

19. – закон транзитивности импликации;

20. – закон транзитивности эквиваленции.

Доказательство этих равносильностей проводится с помощью таблиц истинности, основываясь на замечании 1. Докажем, например, равносильности 12 и 19. Составим сначала таблицу истинности для доказательства первой из них.

Таблица 4.

1 0 1 0	1 1 0 0	1 1 0 1	0 1 0 1	1 1 0 1

Так как столбцы истинностных значений формул и совпадают, то эти формулы равносильны.

Составим теперь таблицу истинности для доказательства равносильности 19, предварительно обозначив ее левую часть через .

Таблица 5.

		H					P
1 1 1 0 1 0 0 0	1 1 0 1 0 1 0 0	1 0 1 1 0 0 1 0	1 1 0 1 0 1 1 1	1 0 1 1 1 0 1 1	1 0 0 1 0 0 1 1	1 0 1 1 0 1 1 1	1 1 1 1 1 1 1 1

Из таблицы 5 видно, что формула является тавтологией, а это доказывает равносильность 19.

Пользуясь теоремой 7 и основными равносильностями, можно доказывать сложные равносильности и упрощать высказывательные формулы.

Пример 7. Упростить формулу .

□ Имеем .

Заметим, что если в равносильностях 1–10 заменить на , на , 1 на 0, 0 на 1, то получим соответствующие равенства . Отсюда легко вытекает справедливость следующего утверждения: если в любой равносильности двух формул F и G алгебры высказываний, содержащих только знаки операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, заменить на , на , 1 на 0, 0 на 1, то получим двойственную равносильность (принцип двойственности в алгебре высказываний).

Пример 8. Так как , то справедлива и двойственная равносильность .