Пример 3. Число является четным тогда и только тогда, когда a оканчивается четной цифрой. Это истинная эквиваленция. Итоговая таблица истинности для логических операций

Таблица 6.

А	В
1 1 0 0	1 0 1 0	0 0 1 1	1 0 0 0	1 1 1 0	1 0 1 1	1 0 0 1

Множество всех высказываний с операциями отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, импликации и эквиваленции будем называть алгеброй высказываний.

Замечание 1. В научной литературе используются также следующие обозначения: вместо , & вместо , и вместо . В научно-популярной литературе используют иногда знак + вместо и знак вместо .

Замечание 2. Наряду с операциями отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, импликации и эквиваленции в литературе встречаются также операции стрелка Пирса ( ), штрих Шеффера ( ), сумма Жегалкина (+ – сложение по модулю 2). Приведем их определение через таблицы истинности:

Таблица 7.

А	В
1 1 0 0	1 0 1 0	0 0 0 1	0 1 1 1	0 1 1 0

Упражнение. Выразить операции стрелку Пирса, штрих Шеффера и сумму Жегалкина через операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.

§ 2. Формулы алгебры высказываний и их равносильность

В §1 высказывания введены как повествовательные предложения обычного языка, т.е. высказывание – это лингвистическое понятие. Для изучения высказываний математическими средствами используется понятие формулы алгебры высказываний. Прежде всего, введем в рассмотрение следующие символы: логические константы 1 – символ истины, 0 – символ лжи; высказывательные переменные ; логические операции ; знаки пунктуации ( , ). Конечные последовательности указанных символов будем называть выражениями алгебры высказываний.

Высказывательные переменные, логические константы и выражения, полученные из них с помощью знаков логических операций и знаков пунктуации, называются формулами алгебры высказываний.

Чтобы употреблять меньше скобок в записи формул, определим следующий порядок действий: первой выполняется операция отрицания, затем операции конъюнкции или дизъюнкции (их мы считаем равноправными) и, наконец, операции импликации или эквиваленции. Последние две операции также считаем равноправными. Используя эти соглашения, формулу можно записать так: . Отметим, что поскольку мы не упорядочили операции , между собой (впрочем, как и операции ) то, например, выражение не является формулой. Надо в этом выражении поставить скобки, определяющие порядок выполнения операций. Из этого выражения можно получить две формулы: и . По тем же соображениям из выражения , которое не является формулой, можно получить формулы: и .

В дальнейшем нам понадобиться понятие подформулы формулы , под которой будем понимать слитную часть формулы , которая сама является формулой. Например, формула имеет шесть подформул: .

Теперь соотнесем понятия высказывания и формулы. На самом простом уровне формула – это форма для получения высказываний. Пусть, например, дана формула . Подставим вместо и соответственно высказывания: = «четырехугольник является параллелограммом», = «в четырехугольнике смежные стороны равны», = «в четырехугольнике диагонали перпендикулярны». Получим высказывание = «если четырехугольник является параллелограммом и его смежные стороны равны, то в четырехугольнике диагонали перпендикулярны», которое является истинным. Это высказывание получилось «по форме» . Если вместо и подставить соответственно высказывания: = « », = « », = « ». Получим высказывание = «если и , то », которое является ложным. Это высказывание тоже получилось «по форме» .

Итак, подставляя в любую формулу вместо высказывательных переменных произвольные высказывания , а вместо логических констант 1 или 0 (в случае, если они присутствуют в записи формулы) – соответственно истинное или ложное высказывание и выполняя над ними соответствующие логические операции, получим сложное высказывание , которое называется значением формулы при . Понятно, что можно говорить об истинностном значении высказывания – оно может быть либо 0, либо 1.Учитывая, что табл. 1–5 определяют операции над истинностными значениями высказываний, легко понять, что для нахождения истинностного значения высказывания достаточно заменить высказывания их истинностными значениями (т.е. нулями или единицами) и выполнить действия в соответствии с табл. 1–5 из пункта 1. Другими словами, логическое значения высказывания есть .

Определение 2. Формула алгебры высказываний называется тождественно истинной, или тавтологией, если для любых высказываний ее значение является истинным высказыванием.

Руководствуюсь соображениями практической целесообразности, понятию тавтологии можно дать эквивалентное формальное определение, оперирующее с истинностными значениями. Так можно будет поступать при определении многим других понятий этого параграфа. Проиллюстрируем сказанное только на определении 2; в остальных случаях мы предоставляем это сделать читателю.

Определение . Формула алгебры высказываний называется тождественно истинной, или тавтологией, если для любого набора истинностных значений для переменных ее истинностное значение равно 1.

Пример 1. Формула является тавтологией, о чем свидетельствует следующая таблица:

Таблица 1.

1 0	0 1	1 1

Определение 3. Формула алгебры высказываний называется тождественно ложной, или противоречием, если для любых высказываний ее значение является ложным высказыванием.

Пример 2. Формула является противоречием, о чем свидетельствует следующая таблица:

Таблица 2.

1 0	0 1	0 0

Понятно, что формула является тавтологией тогда и только тогда, когда формула есть противоречие.

Определение 4. Формула алгебры высказываний называется выполнимой, если для некоторых высказываний ее значение является истинным высказыванием.

Определение 5. Формула алгебры высказываний называется опровержимой, если для некоторых высказываний ее значение является ложным высказыванием.

Пример 3. Формула является одновременно выполнимой и опровержимой, о чем свидетельствует следующая таблица истинности:

Таблица 3.

X	Y	X Y	Y X	F(X,Y)
1 1 0 0	1 0 1 0	1 0 1 1	1 1 0 1	1 1 0 1

Определение 6. Высказывание, которое получается из какой-либо тавтологии подстановкой вместо высказывательных переменных конкретных высказываний, называется логически истинным (в логике высказываний).

О таком высказывании можно сказать, что оно истинно уже в силу одной только своей функционально-истинностной структуры. Примером может служить высказывание: «Если идет экзамен или идет зачет и не идет зачет, то идет экзамен», которое можно получить подстановкой в тавтологию (проверьте, что это тавтология!).

Определение 7. Высказывание, которое получается из какого-либо противоречия подстановкой вместо высказывательных переменных конкретных высказываний, называется логически ложным (в логике высказываний).

Ввиду особой роли тавтологий (их называют также законами логики) отметим их некоторые свойства.

Условимся ради краткости иногда опускать переменные в обозначении формул. Тогда формулировки теорем и их доказательства будут выглядеть проще. Кроме того, в случае необходимости записи переменных в формулах и , мы будем писать для них одни и те же переменные из соображений удобства. Если в одной из формул какой-то переменной нет, то вместо нее в этой формуле ничего не подставляется. Более того, формула может вообще не содержать переменных, т.е. быть логической константой. Кроме того, для обозначения логического значения формулы для некоторого набора логических (истинностных значений) для переменных будем использовать обозначение .

Т е о р е м а 1. Если формулы и являются тавтологиями, то и формула – тавтология.

□ Пусть формулы и являются тавтологиями. Допустим, что для некоторого набора логических значений для переменных имеет место . Поскольку формула – тавтология, то и поэтому . Последнее противоречит предположению о том, что формула есть тавтология. Таким образом, – тавтология.

Т е о р е м а 2. Если – тавтология, – формулы, то – тавтология. Другими словами, подстановка в тавтологию приводит к тавтологии.

□ Формулы принимают некоторые истинностные значения для произвольного набора истинностных значений входящих в них переменных. Имеем , поскольку – тавтология. Это и означает, что формула – тавтология.

Т е о р е м а 3. Если формула получается из подстановкой формулы вместо одного или большего числа вхождений формулы в качестве подформулы в , то следующая формула есть тавтология:

.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 и мы его опускаем.

Например, если формула имеет вид , то она является, как легко проверить, тавтологией. Но тогда по теореме 3 тавтологией будет и формула вида , так она получена из подстановкой вместо её подформулы формулы ).

Определение 8. Формулы и алгебры высказываний называются равносильными, если при подстановке вместо переменных любых высказываний значения этих формул будут одновременно истинными или ложными высказываниями.

Обозначение: .

Доказательство равносильности двух формул можно проводить с помощью таблиц истинности, основываясь на следующем замечании.

Замечание 1. Любая формула алгебры высказываний всякому упорядоченному набору нулей и единиц ставит в соответствие единственное число из множества и тем самым определяет функцию от переменных со значениями во множестве , для которой область изменения переменных есть также множество ; такие функции называются булевыми функциями. Понятно, что формулы и равносильны тогда и только тогда, когда значения соответствующих булевых функций и совпадают при любом наборе значений для переменных из множества , т.е. = .

Т е о р е м а 4 (о свойствах отношения равносильности формул). Для формул , и справедливы следующие свойства:

. , т.е. отношение равносильности рефлексивно;

. если , то , т.е. отношение равносильности симметрично;

. если и , то , т.е. отношение равносильности транзитивно.

Доказательство очевидно.

Т е о р е м а 5 (признак равносильности формул). Формулы и являются равносильными тогда и только тогда, когда эквиваленция есть тавтология.

□ Если формулы и являются равносильными, то для любого набора истинностных значений переменных имеем . В силу определения операции эквиваленции отсюда делаем вывод, что формула – тавтология.

Обратно, если – тавтология, то для любого набора истинностных значений переменных имеем и поэтому . Отсюда и следует равносильность формул и .

Т е о р е м а 6. Если , – формулы, то . Другими словами, подстановка в равносильность приводит к равносильности.

Доказательство вытекает из теорем 5 и 2.

Т е о р е м а 7. Если формула получается из подстановкой формулы вместо одного или большего числа вхождений формулы в качестве подформулы в , то из равносильности вытекает равносильность .

Доказательство вытекает из теорем 5 и 3.

Ниже мы приведем некоторые равносильности формул алгебры высказываний. Первые десять из них получаются из основных законов алгебры множеств заменой множеств соответственно на формулы ; знака равенства = на знак равносильности ; знака объединения на знак дизъюнкции ; знака пересечения на знак конъюнкции ; знака пустого множества на логическую константу 0; знака универсального множества U на логическую константу 1.