Глава II. Логика высказываний

Логика – наука правильно рассуждать. Она была развита в IV в. до н. э. в работах великого древнегреческого философа Аристотеля, его учеников и последователей. Аристотель исследовал различные формы суждений и их комбинаций и ввел понятие силлогизма, т.е. рассуждения, в котором из заданных двух суждений выводится третье. Он выделил все правильные формы силлогизмов, которые можно составить из суждений: «Все суть », «Некоторые суть », «Все не суть », «Некоторые не суть ».

Перечисленные выше суждения допускают теоретико-множественную интерпретацию: «Все суть » – «Все элементы множества являются элементами множества », т.е. ; «Некоторые суть » – «Некоторые элементы множества являются элементами множества », т.е. ; «Все не суть » – «Все элементы множества не являются элементами множества », т.е. ; «Некоторые не суть » – «Некоторые элементы множества не являются элементами множества », т.е. и . Поскольку множества и операции над ними можно изображать с помощью диаграмм или кругов Эйлера-Венна, то рассуждения указанного вида можно интерпретировать в геометрии. Этот метод геометрической иллюстрации рассуждений позволяет без особого труда выявить все правильные формы силлогизмов.

Логика, основанная на теории силлогизмов, называется классической. Хорошо известно, что общее число силлогизмов, которые можно составить из суждений указанного типа, равно 256. Из них правильными являются лишь 24.

Как известно, в конце XVI в. словесная форма записи алгебраических выражений стала тормозить развитие науки и чтобы облегчить выполнение алгебраических преобразований, была создана буквенная символика. Она использовалась для облегчения проверки и преобразования сложных цепочек рассуждений. Это новое буквенное исчисление получило название алгебры логики или математической логики. Основы ее заложены в XVII в. немецким математиком Г. Лейбницем (1646–1716). В середине XIX в. ирландский математик и логик Джордж Буль (1816–1864) своими трудами положил начало формированию математической логики как научной дисциплины.

§1. Операции над высказываниями

Под предложением будем понимать соединение слов, имеющее самостоятельный смысл (лингвистическое понятие).

Высказывание – это повествовательное предложение, о котором (в определенных условиях) можно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Снег белый» – истинное высказывание, – ложное высказывание. Всякая теорема в математике является высказыванием, истинность которого устанавливается с помощью доказательства. Числовые равенства или неравенства – высказывания. Уравнения и неравенства с переменными не являются высказываниями, так как при одних значениях переменных они истинны, а при других ложны.

В алгебре высказываний отвлекаются от содержания высказываний и интересуются только тем, истинны они или ложны. В связи с этим каждому высказыванию соотнесем его логическое или истинностное значение, т.е. число 1, если – истинное высказывание, и число 0, если – ложное высказывание. Простыми (элементарными) высказываниями называются такие высказывания, которые не расчленяются на другие высказывания. Рассмотрим некоторые операции на множестве высказываний.

Определение 1. Отрицанием высказывания называется высказывание «не », обозначаемое через или (читается «не А»), которое истинно, если А ложно, и ложно, если А истинно.

Сама операция, в результате которой получается такое высказывание, также называется отрицанием. Сразу же заметим, что и во всех остальных случаях операция и результат операции называются одним и тем же словом. Для лучшего запоминания определений операций над высказываниями будем приводить для них в дальнейшем таблицы, в которых операция над высказываниями заменяется операциями над их логическими значениями. Следуя сложившейся практике, такие таблицы будем называть таблицами истинности, хотя, на наш взгляд, естественнее такие таблицы называть таблицами логических значений. Для операции отрицания эта таблица выглядит так:

Таблица 1.

1 0	0 1

Определение 2. Конъюнкцией высказываний и называется высказывание « и », обозначаемое , которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания и истинны.

Таблица истинности для конъюнкции:

Таблица 2.

А	В
1 1 0 0	1 0 1 0	1 0 0 0

Можно говорить и о конъюнкции нескольких высказываний.

Определение . Конъюнкцией высказываний называется высказывание « , и , и т.д., и », обозначаемое через , которое истинно тогда и только тогда, когда истинны все высказывания .

Определение 3. Дизъюнкцией высказываний и называется высказывание « или », обозначаемое , которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания и ложны.

Таблица истинности для дизъюнкции:

Таблица 3.

А	В
1 1 0 0	1 0 1 0	1 1 1 0

Можно говорить и о дизъюнкции нескольких высказываний.

Определение . Дизъюнкцией высказываний называется высказывание « , или , или т.д., или », обозначаемое через , которое ложно тогда и только тогда, когда каждое из высказываний ложно.

Заметим, что в обычной речи союз «или» употребляется в двух различных смыслах:

1. В исключающем смысле: или , или , но не оба: «Он будет учиться в университете или совсем не будет учиться».

2. В неисключающем смысле: или , или , или оба: «Число является корнем уравнения или уравнения ».

В дизъюнкции, как это следует из определения, союз «или» употребляется в неисключающем смысле.

Определение 4. Импликацией высказываний и называется высказывание «если , то », обозначаемое через , которое ложно тогда и только тогда, когда истинно, а ложно.

Высказывание читается также, как «из следует », « влечет », и т.д. Импликация имеет большое значение в математике, так как большинство теорем формулируется в виде импликации . При этом высказывание называют посылкой, а высказывание – заключением.

Таблица истинности для импликации:

Таблица 4.

А	В
1 1 0 0	1 0 1 0	1 0 1 1

Заметим, что при ложной посылке импликация истинна. Для нас это кажется непривычным. Это объясняется тем, что в обычной речи импликации с ложными посылками почти не встречаются. Впрочем, можно указать случаи, когда ложную посылку можно неявно предполагать, причем импликация при этом оказывается истинной.

Пример 1. Высказывание: «Любой действительный корень уравнения является корнем уравнения » считается истинным даже в том случае, когда первое уравнение не имеет действительных корней.

Пример 2. Запись по определению означает, что всякий элемент множества является элементом множества . Утверждая, что , мы по существу пользуемся истинностью импликации , в котором посылка ложная.

Определение 5. Эквиваленцией высказываний и называется высказывание «для необходимо и достаточно », обозначаемое через , которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания и одновременно либо истинны, либо ложны.

Высказывание читается так же, как « эквивалентно », «А тогда и только тогда, когда », «А если и только если ».

Таблица истинности для эквиваленции:

Таблица 5.

А	В
1 1 0 0	1 0 1 0	1 0 0 1