Чтобы доказать справедливость равенства (1) при , умножим обе части равенства (2) на :

= + + … + + … + .

Раскрывая скобки и приводя подобные в правой части последнего равенства, получаем

= + + … + + … + .

Учитывая очевидные равенства = , = и свойство сочетаний, имеем

= + + … + + … + .

Итак, формула (1) справедливо при + 1.

Вывод. Формула (1) справедлива при любом натуральном .

Формулу (1) называют обычно формулой бинома Ньютона, хотя она была известна задолго до Ньютона уже упоминавшемуся Гиясэддину Каши, а также Паскалю и другим. Заслуга Ньютона состоит в том, что он нашел обобщение формулы (6) на случай нецелых показателей.

Формулу (1), учитывая, что = , в развернутом виде можно переписать в следующем виде:

= + + + …

…+ + … + + . ( )

С помощью формулы бинома Ньютона можно получить некоторые из доказанных ранее свойств сочетаний, а также вывести иные их свойства, и наоборот, свойства сочетаний позволяют упрощать вычисления коэффициентов в формуле (1). Числа , , …, называются биномиальными коэффициентами. Поскольку эти числа записаны в n‑ой строке треугольника Паскаля, то перефразируя его свойства получаем следующие

Свойства биномиальных коэффициентов.

. Биномиальные коэффициенты, равноудаленные от концов правой части равенства (1), равны.

. Для нахождения коэффициента , непосредственно следующего за коэффициентом , надо умножить на и поделить на .

Пример 1. Пользуясь свойствами и , легко находим, что

.

Например, коэффициент при равен . Найдя первую половину коэффициентов, вторую выписывают автоматически.

. Зная коэффициенты разложения можно найти коэффициенты разложения , используя треугольник Паскаля.

Пример 2. Пользуясь табл. 2 и свойством , легко находим, что

.

Например, как это видно из табл. 2, коэффициент при равен сумме .

. Сумма биномиальных коэффициентов равна .

Замечание 1. Это свойство можно получить из формулы (1). Действительно, положив в ней , получим = + + …+ . Тем самым другим методом доказана теорема 5 из § 2 о числе всех подмножеств ‑множества и , как следствие этого, свойство сочетаний.

. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

□ В самом деле, положив в формуле (6) и , получим

0 = – + – + – …+ + … + .

Отсюда + + + … = + + +… .

Замечание 2. Формула (1) позволила нам найти новое свойство сочетаний.

§4. Соединения с повторениями в § 1 уже рассмотрен вопрос о числе размещений с повторениями. Для полноты картины, рассмотрим еще перестановки и сочетания с повторениями.

1. Перестановки с повторениями. Перестановкой с повторениями порядка n и состава из элементов -множества называется упорядоченная n‑ка, в которой элементы встречаются соответственно раз, причем . Понятно, что две перестановки с повторениями одинакового порядка и состава могут отличаться друг от друга лишь порядком компонент. Например, и различные перестановки с повторениями порядка 7 и состава . Решим следующую комбинаторную задачу: найти число перестановок с повторениями порядка n, имеющих состав . Все такие перестановки можно получить следующим образом. Составим все перестановки без повторений из различных элементов, включающих элементы . Напомним, что их число равно . Если , то выберем произвольно элементов, не входящих в множество , и отождествим их с во всех перестановках. Легко понять, что таким образом получим перестановки с повторениями порядка и состава , где единица записана раз. Но различных среди них будет меньше во столько раз, сколько можно образовать перестановок без повторений из элементов, т.е. в раз. Таким образом, получим перестановок. Если , то переходим к . Если , то выберем произвольно элементов, не входящих во множество , и отождествим их с во всех перестановках. Легко понять, что таким образом получим перестановок с повторениями порядка и состава , где единица записана раз. Продолжая этот процесс, приходим к выводу о справедливости следующего утверждения:

Т е о р е м а 1. Число перестановок с повторениями порядка n, имеющих состав , вычисляется по формуле

= . (1)

Пример 1. Буквы слова «Математика» можно переставлять способами.

Из формулы (1) вытекает, что букв и букв можно переставлять способами. Но это число равно . Значит, число перестановок с повторениями состава равно :

= . (2)

Формула (2) позволяет записать формулу бинома Ньютона в следующем виде:

= + +…+ + … + ,

или в краткой форме

= ,

где суммирование распространено на все наборы такие, что .

С помощью индукции по числу слагаемых нетрудно убедится в справедливости следующего утверждения:

Т е о р е м а 2. Для любых натуральных чисел , и любых действительных чисел справедлива формула

= , (3)

где суммирование распространено на все наборы такие, что .

Пример 2. = = .

2. Сочетания с повторениями. Найдем теперь число различных составов, которые могут иметь наборы длины , состоящие из элементов ‑множества . Каждый такой состав является упорядоченным набором, состоящим из чисел таких, что . Его можно записать в виде набора из нулей и единиц, заменив каждое число соответствующим числом единиц и поставив нуль после каждой группы единиц, кроме последней. Например, вместо набора можно написать , а вместо набора – набор . Число единиц, входящих в полученные наборы, равно , а число нулей равно . Поэтому число различных наборов такого вида равно числу перестановок с повторениями из n единиц и нулей, т.е.. . Но ввиду формулы (2) = .

Таким образом, мы доказали, что число составов наборов длины , компоненты которых принадлежат данному k‑множеству, равно .