Свойства сочетаний.

. = .

□ В самом деле, в силу формулы (5) имеем

= = = .

. = .

□ Действительно,

= = = .

. + = .

□ В самом деле,

+ = + = = = = .

. + + ….+ + … + = .

□ Действительно, сумма + + ….+ + … + равна числу всех подмножеств -множества, а по теореме 5 из § 2 это число равно .

4. Треугольник Паскаля. Для вычисления числа сочетаний удобно пользоваться таблицей, имеющую форму треугольника, в n‑й строке (n=0,1,2,…) которой выписываются сочетания , , …., :

. . . . . . . . .

….

. . . . . . . . . . .

Таблица 1.

Такую треугольную таблицу называют треугольником Паскаля по имени французского математика Блэза Паскаля (1623­‑1666), в трудах которого она встречается. Это название исторически неточно, так как такую таблицу знали уже арабские математики Гиясэддин Каши и Омар Хайям, жившие в XIII веке, а из европейских ученых с ней был знаком итальянский математик Николо Тарталья (1550‑1557).

Непосредственно свойств ‑ сочетаний вытекают следующие Свойства треугольника Паскаля.

. Числа, равноудаленные от концов треугольника Паскаля, равны.

. Для нахождения -го числа -й строки треугольника Паскаля надо умножить ‑ое на и поделить на .

. Каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, находящихся над ним.

. Сумма чисел n-ой строки треугольника Паскаля равна .

Свойство позволяет легко заменить в таблице обозначения конкретными числами, не пользуясь формулой числа сочетаний. Получаем следующую таблицу:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

. . . . . . . . . .

Таблица 2.

Для получения этой таблицы надо на сторонах треугольника записать единицы, а внутренность угла при вершине заполнять, идя сверху вниз суммами стоящих рядом чисел предыдущей строки.

Например, число 10 в пятой строке табл. 2 получено сложением чисел 4 и 6 предыдущей строки.

§3. Бином Ньютона

Приведем формулу для возведения суммы двух чисел в натуральную степень. Прежде всего, заметим, что числа стоящие с строках треугольника Паскаля, встречаются при возведении в степень двучлена :

,

.

Но коэффициенты 1, 2, 1 – это числа, стоящие во второй (напоминаем, что мы ведем счет с 0) строке таблицы 2, т.е. , а 1, 3, 3, 1 – числа, стоящие в третьей строке той же таблицы, т.е. .

Это замечание позволяет предположить, что справедливо следующее утверждение.

Т е о р е м а 5. Для любых чисел и натурального числа справедлива формула

= + + + … + + … + . (1)

□ Доказательство формулы (6) проведем индукцией по n, используя свойство сочетаний.

База индукции. При имеем = = + и, следовательно, формула (1) справедлива.

Шаг индукции. Предположим, что формула (6) справедлива при , т.е.

= + + … + + … + . (2)