3. Распределение Бернулли (биномиальное распределение).

Случайная величина Х - это число появлений события А в n независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях – «число успехов».

Вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна p (вероятность не появления q=1-p).

Ряд распределения:

0	1	…	m	…	n
		…		…

Вероятности возможных значений случайной величины Х определяются по формуле Бернулли:

Проверка:

Для определения числовых характеристик введём в рассмотрение случайную величину – число «успехов» в i-ом испытании.

0	1
q	p

Так как испытания независимые, а случайная величина , то, пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, можно получить:

математическое ожидание ,

дисперсия .

Пример:

Случайная величина Х – число промахов при 50 независимых друг от друга выстрелах. Вероятность промаха 0,06. Найти числовые характеристики распределения случайной величины Х.

Случайная величина Х имеет биномиальное распределение. Тогда:

4. Пуассоновское распределение.

Рассмотрим случайную величину Х, которая может принимать только целые неотрицательные возможные значения 0,1,2,…(последовательность этих значений теоретически не ограничена). Говорят, что случайная величина Х распределена по пуассоновскому закону, если вероятности возможных значений находятся по формуле Пуассона: где - некоторая положительная величина, называемая параметром пуассоновского распределения.

Ряд распределения:

0	1	2	…	m	…
			…		…

Проверка:

Математическое ожидание:

Таким образом, .

Дисперсия:

Можно показать, что .

Пример:

Число вызовов Х, поступающих на АТС за 1 минуту имеет пуассоновское распределение. Среднее число вызовов, поступающих за 1 минуту равно 1,5. Найти вероятность того, что за 1 минуту поступит не менее двух вызовов.

λ=1,5.

Замечание: пуассоновское распределение возникает при условии проведения опыта по схеме Бернулли, когда n , пр Так как мало, то закон распределения Пуассона часто называют законом редких явлений.

§4. Основные типы распределений нсв.

1. Равномерный закон распределения.

НСВ Х имеет равномерный закон распределения на отрезке , если её плотность вероятности на этом отрезке постоянна и равна 0 вне его:

Обозначение: X R(a;b).

Проверим условие нормировки:

Функция распределения:

1. ≤ a , тогда .

2. a < x ≤ b, тогда .

3. x > b, тогда

Таким образом:

f(x):

F(x):

Вероятность попадания в интервал (α;β) :

Математическое ожидание:

= .

Таким образом,

Дисперсия:

Можно показать (самостоятельно), что

Среднее квадратическое отклонение:

= , тогда

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач массового обслуживания.

Пример:

Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придётся не больше полминуты? Найти числовые характеристики случайной величины Х - времени ожидания поезда.

P(0 ≤ X ≤0,5) = .