3. Моменты случайных величин.

Пусть случайная величина k N.

Величина M( называется начальным моментом k-го порядка. Математическое ожидание – начальный момент первого порядка.

Величину M(( называют центральным моментом k-го порядка. Дисперсия – центральный момент второго порядка.

Величина M( ) - абсолютный момент k-го порядка.

Замечание: моменты высших порядков служат для более подробного описания распределения. Так, например, третий центральный момент M(( характеризует ассиметрию распределения; четвертый центральный момент M(( характеризует крутость распределения…

4. Мода и медиана случайной величины.

Модой ( ) случайной величины называют её наиболее вероятное значение, для которого вероятность или плотность вероятности f(x) достигают максимума.

Если вероятность или плотность вероятности достигают максимума не в одной, а в нескольких точках, то распределение называют полимодальным.

Медианой непрерывной случайной величиной называют такое её значение, для которого P( =P(

Пример: найти моду, медиану, математическое ожидание случайной величины , если f(x)=3 при x вне указанного отрезка f(x)=0.

Из рисунка видно, что функция f(x) достигает максимума при х=1, следовательно,

, тогда , отсюда .

M( )=

M( )

§3. Основные типы распределений дсв.

1. Равномерное дискретное распределение.

Пусть случайная величина Х принимает в результате опыта n различных значений с равными вероятностями. Говорят, что случайная величина Х имеет равномерное дискретное распределение.

Ряд распределения:

		…
		…

P(X=

Проверка: ,

Математическое ожидание:

– среднее арифметическое возможных значений.

Таким образом: .

Дисперсия:

– среднее арифметическое квадратов возможных значений.

Таким образом:

Пример:

Пусть Х - число очков, выпавших при бросании игрального кубика.

1	2	3	4	5	6

2. Геометрическое распределение.

Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых событие А может наступить с вероятностью р (не наступить - с вероятностью q=1-p).

Опыты продолжаются до первого появления события А – «до первого успеха».

Случайная величина Х - число произведённых опытов. Говорят, что Х имеет геометрическое распределение.

Ряд распределения:

1	2	…	i	…
p	q∙p	…		…

P(X=

Проверка:

(выражение в скобках представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен

Математическое ожидание:

Таким образом, .

Дисперсия:

Можно показать, что .

Замечание:

Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина Х - число объектов, обладающих заданным свойством, среди k объектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупности n объектов, ℓ из которых обладают этим свойством.

Можно показать:

математическое ожидание ;

дисперсия .

Гипергеометрическое распределение широко используется в практике статистического приемного контроля качества промышленной прдукции, в задачах, связанных с организацией выборочных обследований …