3. Функция распределения случайных величин.

Функцией распределения F(x) случайной величины X называется функция неслучайного аргумента x, определённая на всей числовой оси и равная вероятности того, что случайная величина X примет значения, меньше некоторого числа х: F(x)=P(X<x)

Свойства функции распределения:

1. 0≤F(x)≤1 (как вероятность);

2. (вероятность достоверного события);

3. (вероятность невозможного события);

4. F(x) – неубывающая функция;

5. P(a≤X<b)=F(b)-F(a).

Функция распределения ДСВ.

Пусть X - ДСВ, закон распределения которой задан рядом распределения

х1	х2	…	хi	…	хn
		…		…

Тогда, по определению функции распределения получим:

F(x)=

Графиком такой функции является «ступенчатая линия», имеющая в точках разрыва первого рода с соответствующей величиной скачка .

Пример:

Пусть X - число попаданий в цель при двух выстрелах. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Составить ряд распределения, функцию распределения и построить её график.

X	0	1	2
P	0,09	0,42	0,49

P=0,7- вероятность попадания в цель при одном выстреле ; q=0,3- промах.

P(X=0)=

P(X=1)=p∙q+q∙p=2pq=2∙0,7∙0,3=0,42

P(X=2)=

0,09+0,42+0,49=1

Функция распределения НСВ.

Пусть X - НСВ, для которой задана плотность вероятности f(x).

По определению P(a≤X≤b)= , F(x)=P(X<x), тогда F(x)= .

Замечание: в каждой точке непрерывности f(x)=F’(x) .

Пример:

Непрерывная случайная величина X задана плотностью вероятности

Найти F(x), построить графики f(x) и F(x).

F(x)=

1. Если x<-1, то F(x)= .

2. Если -1<x≤1, то

F(x)=

3. Если x>1, то

F(x)= x | .

Таким образом:

y=f(x) y=F(x)

4. Операции над св.

Введём математические операции над ДСВ. Для НСВ вводится аналогично.

Пусть X - ДСВ, принимающая возможные значения с вероятностями , то есть = . Пусть Y - ДСВ, принимающая возможные значения с вероятностями , то есть P(Y= .

Произведением ДСВ X и постоянной величины С, называется ДСВ С∙Х, которая принимает возможные значения C∙ с теми же вероятностями

Суммой двух ДСВ X и Y называется ДСВ X+Y, которая принимает возможные значения с вероятностями ).

Произведением двух ДСВ X и Y называется ДСВ X∙Y, которая принимает возможные значения с вероятностями .

Две СВ называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина.

Для независимых СВ X и Y выполняется:

Пусть дана ДСВ Х и функция φ(x), определенная на всей вещественной оси, тогда функцией от ДСВ Х называется ДСВ Y= φ(Х), которая принимает возможные значения с вероятностями

(где сумма по всем k таким, что значения φ( совпадают со значением ).

Пример: пусть даны дискретные случайные величины

Х Y

0	2
0,4	0,6

-1	1
0,3	0,7

Тогда ДСВ 5X будет иметь ряд распределения:

0	10
0,4	0,6

X+Y будет иметь ряд распределения:

-1	1	1	3
0,4∙0,3	0,4∙0,7	0,6∙0,3	0,6∙0,7

или X+Y:

-1	1	3
0,12	0,46	0,42

X∙Y будет иметь ряд распределения:

0	0	-2	2
0,4∙0,3	0,4∙0,7	0,6∙0,3	0,6∙0,7

или X∙Y:

-2	0	2
0,18	0,4	0,42