Тема 2. Случайные величины.

§1. Случайные величины и способы их описания.

1. Дискретные и непрерывные случайные величины.

Среди задач, решаемых ТВ, очень много таких, в которых исход опыта выражается некоторым числом.

Случайной величиной (СВ) называется величина, которая при каждом осуществлении опыта принимает то или иное числовое значение, заранее неизвестно, какое именно.

Обозначение: X, Y, Z,… - случайные величины. Возможные значения случайных величин: x, y, z,… Каждой случайной величине соответствует некоторое множество возможных значений.

Примеры: 1) Опыт - бросание игрального кубика. СВ - число выпавших очков на верхней грани. Возможные значения: 1,2,3,4,5,6.

2) Покупается n лотерейных билетов. СВ – число выигрышей. Возможные значения: 0,1,2,…,n

3) Электрическая лампочка испытывается на длительность горения. СВ – длительность горения лампочки. Возможные значения: любое неотрицательное число.

4) Некто приходит на станцию метро и ожидает поезда. СВ – время ожидания ближайшего поезда. Возможные значения: [0;2мин].

Из примеров видно, что СВ различаются по множеству возможных значений.

Случайная величина называется дискретной (ДСВ), если множество её возможных значений счетно (в частности конечно), то есть может быть занумеровано. Примеры 1, 2 – ДСВ.

Случайная величина называется непрерывной (НСВ), если её возможные значения сплошь заполняют некоторый промежуток (или несколько промежутков) числовой оси. Примеры 3, 4 – НСВ. Различные СВ могут иметь одно и то же множество возможных значений. Поэтому для полного описания СВ необходимо знать, как часто СВ принимает то или иное свое значение.

2. Законы распределения св.

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения ДСВ.

Для ДСВ закон распределения можно задать таблично, аналитически и графически.

1. Табличный способ – это таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения СВ и соответствующие вероятности принятия этих значений.

х1 х2 … хi … хn … …
)

Эта таблица называется ряд распределения ДСВ.

(так как события X= ; X= ; …; X= образуют полную группу)

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно (но счетно), то ряд сходится, и его сумма = 1.

Пример.

Опыт - бросание игрального кубика. СВ - число выпавших очков на верхней грани. Ряд распределения:

хi	1	2	3	4	5	6
	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

2. Аналитический способ – задаётся формула, по которой находится вероятность каждого возможного значения случайной величины.

Например, если опыт проводится по схеме Бернулли, то вероятности возможных значений могут быть найдены по формуле:

3. Графический способ.

Закон распределения можно изобразить графически, если по оси абсцисс откладывать значения СВ, а по оси ординат – их вероятности. Соединив точки ( отрезками прямых, получим ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей.

Закон распределения НСВ.

Под законом распределения НСВ понимают задание функции f(x), называемой плотностью распределения вероятности, такой, что вероятность попадания СВ в промежуток [a;b] равна P(a≤X≤b)= .

Свойства плотности вероятности:

1. f(x)≥0 (следует из аксиом вероятности);

2. (вероятность достоверного события);

3. P(X=a)= (для НСВ говорят о вероятности попасть в промежуток, вероятность попасть в точку принимают = 0) =>

P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) (только для НСВ).

Таким образом, законы распределения вероятностей ДСВ и НСВ задаются разными способами: ряд распределения для ДСВ и плотность вероятности для НСВ. Введем единый способ задания распределения СВ любого типа.