2. Надійні інтервали для параметрів нормального розподілу

1. Надійні інтервали для математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини

а) Середнє квадратичне відхилення невідоме

Завдання полягає в тому, щоб для заданого рівня надійності знайти таке , щоб

. (24.9)

Оскільки розподіл Стьюдента і нормальний закон симетричні, то симетричним вибираємо і надійний інтервал: .

Поділивши нерівність на додатну величину , з формули (24.9) отримаємо

Інтервальні оцінки параметрів розподілу 

(24.10)

або

, (24.11)

де, , .

Знаючи щільність розподілу Стьюдента ймовірність в лівій частині (24.10) можна обчислити за формулою

. (24.12)

Для функції складені таблиці значень (таблиця № 8 додатку 2). Тому значення можна знайти з цієї таблиці за рівністю

(24.13)

відповідно заданому рівню надійності і числу ступенів вільності .

Поклавши в (24.9), знайдемо надійний інтервал

. (24.14)

б) Середнє квадратичне відхилення відоме

Якщо в розподілі невідомий тільки параметр , то використовуємо відому в теорії ймовірності формулу

. (24.15)

замінивши в (24.15) на і на , отримаємо

,

 Лекція 24

де знаходимо з рівності за таблицею функції Лапласа

(таблиця № 2 додатку 2).

З рівності знаходимо .

Отже, в цьому випадку отримаємо надійний інтервал для математичного сподівання

.

Дійсно, за ЦГТ, вибіркою середнє вибірки великого об’єму розподілене асимптотично нормально з параметрами і .

Зауваження. 1

З формул і випливає, що зі збільшенням об’єму вибірки точність оцінки зростає ( зменшується).

Зауваження 2

Оскільки

,

то при збільшенні об’єму вибірки розподіл Стьюдента наближається до нормального. Тому при в формулі (24.14) можна знаходити за таблицею функції Лапласа, при цьому рівень значущості інтервалу не зміниться.

Для малих заміна розподілу нормальним призводить до грубих помилок, а саме до невиправданого звуження надійного інтервалу, тобто до збільшення точності оцінки. Той факт, що розподіл Стьюдента при малій вибірці дає не ширший інтервал довіри, не означає, що метод Стьюдента слабший, а пояснюється тим, що мала вибірка містить малу інформацію про цікаву нам ознаку.

Інтервальні оцінки параметрів розподілу 

Зауваження 3

Якщо треба оцінити математичне сподівання з наперед заданою точністю і надійністю , то мінімальний об’єм вибірки, який забезпечує цю точність, знаходять за формулою

,

(як наслідок рівності ).

24.2.2 Надійні інтервали для дисперсії

При побудові надійного інтервалу для дисперсії виразимо через величину , яка має розподіл з щільністю (24.8) рис. 24.2

Рис.24.2

Крива розподілу несиметрична. Виберемо інтервал , в який попадає величина з ймовірністю так, щоб ймовірності виходу величини за межі інтервалу вправо і вліво (заштриховані площі на рис. (24.2)) були однакові і дорівнювали , тобто

; .

Числа і знаходимо за таблицею значень розподілу з ступенями вільності і ймовірністю (таблиця №7 додатку 2).

Тепер за інтервалом для величини будуємо надійний інтевал , який “накриває” значення з ймовірністю :

. (24.16)

 Лекція 24

Нерівності і еквівалентні нерівностям

і ,

Звідси отримуємо нерівності

і ,

або

.

Тоді інтервал

накриває значення тоді і тільки тоді, коли випадкова величина попаде в інтервал .

Отже, побудований за розподілом надійний інтервал для має вигляд:

. (24.17)

Зауваження

Для того, щоб можна було користуватись готовою таблицею дещо перетворимо нерівність в (24.16).

Дійсно, (24.16) можна переписати у вигляді

Але нерівність еквівалентна нерівності

,

Інтервальні оцінки параметрів розподілу 

або

, (24.18)

де .

Припустивши, що , перепишемо (24.18) у вигляді

.

Помноживши останню нерівність на , отримаємо

,

або, враховуючи (24.7),

. (24.19)

Ймовірність виконання останньої нерівності, а , отже, і еквівалентної їй нерівності (24.18) дорівнює

.

За даними і з останнього рівняння можна знайти . Але на практиці значення знаходять з таблиці значень (таблиця № 6 додатку 2) за даними і .

Обчисливши за вибіркою і знайшовши за таблицею , отримують шуканий інтервал довіри

який з надійністю покриває .

Якщо , то оскільки , нерівність (24.18) набуде вигляду

,

 Лекція 24

або, після аналогічних випадку перетворень,

.

Отже, значення можна знайти з рівняння

.

На практиці значення знаходять із таблиці за даними і (таблиця № 6 додатку 2).

Приклад 24.1

Побудувати надійні інтервали для параметрів і нормального розподілу з прикладу 1 лекції 21.

З таблиці розподілу Стьюдента ( таблиця № 8 додатку 2- двостороння критична область) для заданої надійності за числом ступенів вільності знаходимо .

Підставивши значення і в формулу

отримаємо ннадійний інтервал для мматематичного сподівання

,

або

.

Побудуємо надійний інтервал для невідомого середньоквадратичного відхилення з заданою надійністю .

З таблиці значень (таблиця № 6 додатку 2 ) знаходимо за рівнем надійності і об’ємом вибірки значення . Підставляючи знайдене значення в формулу

отримаємо

Інтервальні оцінки параметрів розподілу 

або

.

Інтервал довіри для параметру , побудований за розподілом , має вигляд

.

З таблиці розподілу ( таблиця № 7 додатку 2) знаходимо значення

Таким чином для дисперсії маємо інтервал довіри

,

.

Звідси, добувши корінь квадратний з усіх членів нерівності, маємо

.

Вправи для самостійної роботи

Зважено 10 плиток шоколаду і результати зведено в таблицю

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
вага	49,98	50,03	50,01	49,97	50,02	50,01	50,05	50,04	50,06	50

Припускається, що вага розподілена нормально.

1. Знайти 98 % інтервал довіри для математичного сподівання нормального розподілу.

2. Знайти 95 % інтервал довіри для дисперсії нормального розподілу.

352