Требования к расчёту средних величин.

1.Совокупность должна быть однородной.

Однородная совокупность – это статистическая совокупность, в которой ее составные элементы ( единицы) сходны между собой по существенным для данного исследования признакам ( ).

Однородная совокупность будучи однородной по одним признакам, может быть разнородной по другим.

Так, при вычислении средней урожайности требуется, чтобы исходные данные относились к одной и той же культуре, нельзя вычислить среднюю для разнородных культур.

Если рассчитывать среднюю заработную плату в кооперативах и на госпредприятиях, а результат распространить на всю совокупность, то средняя фиктивна, так как рассчитана по неоднородной совокупности, и такая средняя теряет всякий смысл.

Средние, полученные для неоднородной совокупности, не только не будут иметь научной ценности, но даже могут принести вред, искажая истинный характер изучаемого общественного явления.

2.Совокупность должна быть многочисленной.

Если средняя исчисляется не по всем единицам исследуемой совокупности, а по какой- то части, эта часть должна быть репрезентативной (представительной).

Минимальное число единиц, по которому могут быть получены достаточно представительные средние - 25- 30.

В случае если изучаются совокупности, состоящие из мало отличающихся друг от друга единиц, для получения средних можно обойтись и меньшим числом явлений. Чем больше отличаются друг от друга явления, тем больше (относительно объема совокупности) должно быть взято их для получения удовлетворительных средних.

Практическая значимость средних:

1.Средние величины имеют огромное познавательное значение, т.к. отражают достигнутый уровень и могут служить критерием сравнения отдельных единичных явлений со средним.

( Рост человека, высокий или низкий человек - сравниваемым со средним ростом).

2.Средние незаменимы в экономико-статистическом анализе, т.к. именно в них находят свое проявление закономерности массовых процессов и явлений и во времени и в пространстве.

2. Теоретически можно говорить о бесчисленном количестве средних. Практическое применение имеют около десятка видов средних.

Математическая статистика выводит различные средние из формул степенной средней:

- простая форма

- взвешенная форма

В зависимости от числа m можем получить различные виды средних:

При m = -1 – средняя гармоническая

При m = 0 - средняя геометрическая

При m = 1 – средняя арифметическая

При m = 2 – средняя квадратическая

При m = 3 – средняя кубическая

Если варианты признака представлены со своими весами , то

соответствующие средние называются средними взвешенными.

Чем больше показатель степени «m», тем больше величина средней. Различные виды средних располагаются в следующем порядке:

В статистике это называется правилом мажорантности.

Разница между этими средними тем значительнее, чем больше колеблемость осредняемого признака. При небольшой колеблемости эта разница практически мало ощутима.

Введем следующие понятия и обозначения:

- среднее значение признака;

Такой способ обозначения указывает на происхождение средней из конкретных величин, черта вверху символизирует процесс осреднения индивидуальных значений.

- индивидуальные значения признака у каждой единицы совокупности;

n – число единиц совокупности;

f – частота или вес.

Виды средних величин.

1.Средняя арифметическая - наиболее распространенный вид средней. Рассчитывается как частное от деления суммы индивидуальных значений признака на их число:

- простая форма

= - взвешенная форма

Простая средняя арифметическая вычисляется в тех случаях, когда веса отсутствуют или их очень трудно определить.

А если признак сгруппирован, имеются частоты или вес по каждому признаку или по группе признаков, то применяется средняя арифметическая взвешенная.

Наиболее часто встречаются три приема вычисления средней арифметической:

1.Если имеются все значения варьирующего признака, полученные из наблюдения, то техника вычисления ср. арифметической сводится к суммированию вариант и делению полученной из на их число. В таком случае используют формулу средней арифметической простой. В тех случаях, когда варианты повторяются и это выражено частотами, применяют формулу средней арифметической взвешенной.

2.Если имеются не отдельные значения варьирующего признака, а готовая сумма их и соответствующая ей численность совокупности, то сумму значений варьирующего признака выражающую его общий объем, делят на численность единиц совокупности. Этот прием является наиболее распространенным при разработке отчетности.

Например, среднюю урожайность какой-либо с./ х. культуры вычисляют обычно путем валового сбора на посевную площадь, среднюю заработную плату- путем деления суммы заработной платы на число рабочих.

3.Среднюю арифметическую вычисляют на основе вариационного ряда. Вариационные ряды, как мы знаем, бывают дискретными и интервальными. Для вычисления средних в дискретных рядах варианты нужно умножить на частоты и сумму произведений разделить на сумму частот.

Часто вычисление средних величин приходится производить и по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, когда варианты признака, из которых исчисляется средняя, представлены в виде интервалов (от - до).

Для исчисления средней величины надо в каждом интервале определить серединное значение « » -середину интервала, после чего произвести взвешивание обычным порядком x’f.

Эти середины интервалов определяются как полусуммы крайних их значений. Необходимо отметить, что хотя мы и используем для расчета средней из интервального ряда формулу средней арифметической взвешенной, исчисленная средняя не является точной величиной, потому что здесь взяты не индивидуальные значения вариант, а условные средние каждой группы. Их взвешивание имеет чисто формальный характер.