2.35. Асимптоты графика функции.

До сих пор изучались характерные точки функции. Теперь рассмотрим характерные линии. Важнейшими линиями являются асимптоты.

Определение. Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние между точкой Р этого графика и данной прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки Р от начала координат.

у у у

0 х 0 х

х

0 а

а) б) в)

рис. 7

На рис. 7 а изображена вертикальная асимптота, на рис. 7б –горизонтальная асимптота, а на рис. 7в –наклонная.

Очевидно,, этими тремя случаями исчерпываются все возможные расположения асимптот.

1. Пусть функция y= f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀ и предел этой функции при х х₀ равен ∞, т.е. . . Тогда прямая х=х₀ является вертикальной асимптотой графика функции у= f(x).

Очевидно, что прямая х=х₀ не может быть вертикальной асимптотой графика функции , если функция непрерывна в точке х₀, так как в этом случае . Следовательно, вертикальные асимптоты х=х₀ надо искать в точках разрыва функции.

2. Пусть функция определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая у=b есть горизонтальная асимптота графика функции у= f(x).

В том случае, если , функция может иметь наклонную асимптоту.

3. Пусть функция определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы , тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции у= f(x).

Пример . Найти асимптоты графика функции

Решении:

Очевидно, что график функции не имеет ни вертикальных асимптот (нет точек разрыва), ни горизонтальных (

Найдем наклонную асимптоту.

Таким образом получаем, наклонная асимптота графика функции имеет вид y= x.

Ответ: у=х.

2.36 Общая схема исследования функций и построения их графиков.

Схема исследования функций:

1⁰.Найти область определения функции.

2⁰. Исследовать функцию на четность – нечетность.

3⁰.Найти вертикальные асимптоты.

4⁰. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5⁰. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6⁰. найти интервалы выпуклости и точки перегиба.

7⁰. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки уточняющие график.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение :

1⁰. Область определения : 1-х²≠0

х²≠1

х≠±1 D(x)=(-∞,-1)

2⁰. Функция четная, так как f(-x)= график симметричен относительно оси ординат.

3⁰. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точках х=±1. Так как

, то прямые х=1 и х=-1 есть вертикальные асимптоты.

4⁰. Поведение функции в бесконечности.

Вычислим , т.е. прямая у=-1 есть горизонтальная асимптота.

5⁰. Экстремумы и интервалы монотонности.

у^/=0 , когда числитель равен нулю, т.е. при х=0

у^/ не существует в точках , в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. при х=±1.

О днако критической точкой является только точка х=0 (так как значения х=±1 не входят в область определения функции). Найдем знаки производной: у^/ - +

у - 1 0 1 х

х=0-точка минимума, f min=f(0)=1- минимум функции.

На интервалах (-∞,-1) и (-1, 0) функция убывает, на интервалах (0, 1) и (1, +∞) функция возрастает.

6⁰. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Очевидно, что у^//>0 на интервале (-1, 1) и функция вогнута на этом интервале; у^//<0 на интервалах (-∞,-1), (1, +∞) и на этих интервалах функция выпукла. Точек перегиба нет, так как 1+3х²=0

3х²=-1-не имеет смысла.

7⁰. Точки пересечения с осями. f(0)=1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0, 1). Уравнение f(x)=0 решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс. График функции изображен на рис. 8.

у

-1 1 х

-1

Рис.8