15.3. Приложения рядов в приближенных вычислениях.
Ряды Маклорена (Тэйлора) могут быть использованы для приближенного вычисления значений функций, определенных интегралов (в том числе «неберущихся», что особенно актуально), решения дифференциальных уравнений и т.д.
Приближенное вычисление значений функций.
Вычислить приближенно с точностью до 0,001 следующие числа:
а)
; б)
; в)
; г)
а) используя ряд
(15.13) и полагая
,
получаем
Для обеспечения
заданной точности
воспользуемся признаком Лейбница:
найдем такое значение n,
для которого
,
или
.
Так как
,
то
,
следовательно, достаточно при вычислении
взять три
члена
разложения, т.е.
б)
.
Используя разложение (15.2.8), и приняв
(т.е.
),
получаем
Чтобы вычислить
с точностью
,
следует найти n,
при котором
,
т.е.
.
Неравенство верно, если n=3.
Следовательно, следует взять два
члена
разложения, т.е.
.
в)
Воспользуемся биномиальным рядом для
случая
,
,
т.е.
.
Получен
знакочередующийся ряд, где третий член
.
Следовательно,
.
г)
.
Принимая
,
(входит
в интервал сходимости).
Для обеспечения
заданной точности достаточно взять три
члена, так
как четвертый член
Итак,
.
