Понятие о линейной зависимости строк (столбцов).

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) её строк (столбцов). Рассмотрим матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n e₁

a₂₁ a₂₂ … a_2n e₂

A= ……………… -

a_i1 a_i2 … a_in e_i

……………… -

a_m1 a_m2 …a_mn e_m

Д ля строк введем обозначении е_i = (а_i1 а_i2 … а_in) для i=1,m.

Арифметические операции над строками матрицы (сложение строк, умножение строки на число) проводятся поэлементно.

Говорят, что строка e_k = (e_k1 e_k2 … e_kn) является линейной комбинацией строк e_q и e_p если существует два таких числа λ_q, λ_p (одновременно не равные нулю), что выполняется условие

e_k = λ_qe_q + λ_pe_p

Аналогично вводится понятие линейной комбинации для любого числа строк.

П ример. Дана матрица

е₃ = 2е₁ + е₂

1 4 2 6 5 е₁

А= 0 2 -1 3 2 е₂

2 10 3 15 12 е₃

_m

Если линейная комбинация ∑λ_i e_i ≠ 0, строки матрицы называются линейно

в противном случае - линейно независимыми.

В рассмотренном выше примере 2е₁ + 1е₂ – 1е₃ = 0, значит, строки линейно зависимы (λ1= 2, λ2= 1, λ3= - 1).

Линейная зависимость означает, что любая строка может быть представлена как комбинация остальных строк (см. пример).

Все линейно независимые строки называются базисным. Любую строку матрицы можно представить как линейную комбинацию базисных строк.

17