2. Умножение матриц.

Это новая операция, не относящаяся к линейным операциям.

… … …. … … b_ij …

А = а₂₁ а₂₂ …. а_2n - i - строка B = … b_2j …

………… … b_pj … _pxn

…………… ..……………

j - столбец

_{j столбец}

C_mxn = C_ij ^{i строка}

c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + …+ a_ip b_pj

Пример.

3 1 6 1 4 3*1+1*2+6*(-1) 12+3-6 - 1 9

0 -1 2 2 3 = 0*1+(-1)*2+2*(-1) 0-2-2 = - 4 -4

5 2 4 3 _x3 -1 -1 _3x2 5+4-4 20+6-4 _3x2 5 22

Из определения произведения матриц следует, что не всякие матрицы можно умножать. А это означает, что из существования произведения АВ не вытекает существование ВА.

Действительно B_pxn*A_mxp не имеет смысла, если m≠n.

Если перемножаемые матрицы квадратные, то существуют и АВ и ВА, но АВ≠ВА в общем случае, то есть переместительный закон не имеет места при умножении матриц. Другие известные законы справедливы.

1. (А + В)С = АС + ВС (без перестановки)

2. k(AB) = (kA)B = A(kB)

3. ABC = (AB)C = A(BC)

4. AE = EA, если Е, А – квадратные матрицы, одинаковой размерности.

5. A^p = A*A*A…A - (р раз)

Транспонирование матриц.

Если в матрице A_mxn строки и столбцы поменять местами, то полученная матрица называется транспонированной по отношению к исходной матрице.

а₁₁ а₂₁ …. a_m1

A^'=А^т = а₁₂ а₂₂ …. a_m2

…………………

а_1n a_2n …. a_{mn nxm}

Сама операция называется транспонированием.

1.(A')' = A 3.(A+B)' = A'+B'

2.(kA') = kA 4.(AB)' = B' A'

Определители квадратных матриц и их свойства.

A = (a₁₁) ∆=|A| = a₁₁

а₁₁ а₁₂ а₁₁ а₁₂

A_2x2 = │А₂₂│= = а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁ – число, которое

а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂ называется определителем 2-го

порядка.

Для матрицы А_3х3 вводится понятие определителя 3-го порядка

.

a₁₁ а₁₂ а₁₃

∆ а₂₁ а₂₂ а₂₃ = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ + а₂₁ а₃₂ а₁₃-а₁₃ а₂₂ a₃₁ -

А₃₁ а₃₂ а₃₃ - а₂₃ а₃₂ а₁₁- а₁₂ а₂₁ а₃₃

Для вычисления определителя используется правило треугольника

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

+ -

Аналогично определителю 3-го порядка вводится понятие определителя n-го порядка

а₂₂ а₂₃

а₁₁ М₁₁= a_ij M_ij

а₃₂ а₃₃

a_ij А_ij = (-1)^i+j * M_ij

для опреде для определителя любого порядка.

Например, a₂₁ А₂₁ = - M_21, a₃₁ А₃₁ = M₃₁

Теорема Лапласа. (Докажем для определителей 3-го порядка). Рассмотрим определитель ∆, сгруппировав попарно слагаемые, содержащие элементы какого-нибудь ряда, (например, 1-ой строки.)

∆ = а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ + а₂₁а₃₂а₁₃ – а₁₃а₂₂а₃₁ – а₂₃а₃₂а₁₁ - а₁₂а₂₃а₃₃ =

= а₁₁(а₂₂а₃₃ – а₂₃а₃₂) – а₁₂(а₂₁а₃₃ – а₂₃а₃₁) + а₁₃(а₂₁а₃₂ – а₂₂а₃₁) =

а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₃ а₂₁ а₂₂

= а₁₁ - а₁₂ + а₁₃ = ∆

а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₃ а₃₁ а₃₂

∆ = а₁₁А₁₁ + а₁₂А₁₂ + а₁₃А₁₃

Теорема. Всякий определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь ряда на свои алгебраические дополнения.