3. Математические модели функционально-логического этапа проектирования вс
3.1. Математические модели схем
Основные исходные данные для создания модели — схема электрическая функциональная или принципиальная и параметры типовых конструкций. Постановка задачи и качество решения зависят от математической модели схемы и монтажного пространства. К математической модели схем предъявляют следующие требования [34, 39]:
информационная полнота (наиболее полное отображение свойств);
высокая формализация;
наличие математического аппарата, позволяющего формализовать модель;
однозначность и простота перехода от объекта к модели и обратно;
возможность использования модели в существующих алгоритмах или получение модели, где эти алгоритмы работают;
наглядность представления объекта;
адекватность модели объекту.
В наибольшей степени изложенным требованиям удовлетворяет граф, являющийся содержательной моделью объекта проектирования. Геометрическое задание графа наглядно представляет отображаемый объект, а матричный и аналитический способы — формально.
Для основных задач конструирования ВС (компоновка, размещение и трассировка) в математической модели отражается следующая информация о схеме [43,48]:
связанность элементов схемы с точностью до вывода с учетом направления распространения сигнала и фактора неизвестности соединений в пределах одного комплекса (электрической цепи);
топологические свойства элементов (порядок расположения выводов, возможность перехода соединений между ними и под элементом);
метрические параметры элементов (их размеры, координаты и размеры полей контактов);
сведения об инвариантности выводов.
Для различных задач и алгоритмов требуется и различная информация. Например, при разрезании схемы на части и размещении элементов одного типоразмера существенна информация о связанности элементов, т. е. электрической связи между ними без учета различия между выходами и входами; при решении задач поиска повторяющихся частей схем и их идентификации необходимо задавать направление связей между элементами с точностью до контактов этих элементов; при решении задач трассировки для определения планарности схем и числа пересечений основными являются топологические свойства элементов [8, 13].
Рассмотрим два способа перехода от схемы к графу [5, 21].
Элементам схемы или их выводам ставятся во взаимно однозначное соответствие вершины графа, а связи между ними представляются ребрами — получаем модель в виде неориентированного или ориентированного обыкновенного графа (мультиграфа);
Каждому выводу или элементу схемы ставится во взаимно однозначное соответствие вершина гиперграфа (ультраграфа, если необходимо учитывать направление распространения сигнала), тогда каждое ребро гиперграфа соответствует элементарной цепи, соединяющей эти элементы или их выводы.
3.1.1. Модель схемы в виде неориентированного мультиграфа
Чтобы задать информацию о связанности элементов или их выводов, каждая элементарная цепь (комплекс) интерпретируется полным подграфом, что приводит к избыточности ребер, количество вершин подграфа определяется числом элементов или выводов, соединяемых данной цепью. При этом учитывается фактор неизвестности соединения, так как покрывающие «деревья», построенные на полном подграфе, соответствуют возможным вариантам соединения элементов данной цепью. Модель схемы получается объединением полных подграфов.
При такой
интерпретации применяется вероятностный
подход — каждому ребру
полного подграфа присваивают вес:
,
(3.1)
где k— количество вершин полного подграфа.
Модель схемы представлена на рис. 3.1, где & — логическое И; MS — селектор-мультиплексор (выбор канала со стробированием и непрерывная передача информационных посылок в одну линию); ML — мультиплексор (демультиплексор или аналоговый коммутатор). При сопоставлении элементов схемы и вершин графа, получаем граф (рис. 3.2).
Рис.
3.1 – Модель схемы
Рис. 3.2 – Граф Рис. 3.3 – Фиксированное
дерево
Введение избыточных
ребер может сделать граф не пленарным,
хотя интерпретируемая нами схема —
планарна. По данному графу нельзя
получить правильную оценку элементарных
связей между частями схемы. Например,
количество ребер, попадающих в разрез
между
и
графа G,
,
равно четырем (для вероятностного графа
сумма весов ребер равна 4/3), в то время
как в схеме в этом случае разрезается
одна цепь. При такой модели схемы
существует сильная корреляционная
связь между показателями, так что
оптимизация одного приводит к оптимизации
другого (рис. 3.3).
При сопоставлении выводов элементов и вершин графа граф схемы распадается на отдельные компоненты связности (рис. 3.4), количество которых определяется числом электрических цепей схемы. Объединяя эти компоненты связности в соответствии с принадлежностью выводов элементам схемы, получим рассмотренную выше модель.
Модель схемы, полученную объединением полных подграфов, можно не использовать для решения задач размещения элементов (информацию о метрических параметрах элементов можно учитывать в весовых характеристиках вершин) и компоновки алгоритмами, в которых определяющим является фактор связности. Модель схемы в виде отдельных компонентов связности несет информацию о соединяемых выводах элементов для задачи трассировки [33].
Электрическую цепь можно представить фиксированным «деревом» (см. рис. 3.3), в этом случае не исключаются избыточные ребра, однако не учитывается фактор неизвестности соединений и неверно отражается связность элементов схемы, так как любые две несмежные вершины «дерева» не связаны между собой, в то время как в схеме между соответствующими элементами существует электрическая связь. Такую модель можно использовать для решения топологических задач трассировки, если нет ограничений на проведение соединений под элементами и между их контактами.
Рис.
3.4 – Компоненты связности