П. 2. Матричное исчисление

1. Матрица — прямоугольная таблица чисел. (m  n)-матрица состоит из m строк и n столбцов чисел a_ij, где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. Для квадратной матрицы m = n, и размер матрицы n называется ее порядком.

В дальнейшем матрицей будет квадратная матрица (n  n). Главная диагональ матрицы — диагональ с числами a_ii. Матрица диагональная, если все числа матрицы, кроме главной диагонали, равны 0. Матрица симметричная, если она симметрична относительно своей главной диагонали.

Сумма матриц A = (a_ij) и B = (b_ij) — матрица C = A + B = (a_ij + b_ij). Произведение A = (a_ij) и B = (b_ij) — матрица C = AB = (с_ij), где с_ij =  .

Пример. Пусть A = , B = . Тогда A + B = = , AB = = .

Упр. 6. Пусть A = , B = , C = , O = , E = . Найдите матрицы A + B, B + A, A + O, O + A и AB, BA, AE, EA, AC, CA.

2. Матрица смежности графа с множеством вершин {v₁, v₂, …, v_n} — квадратная матрица A = (a_ij) порядка n, в которой элемент a_ij равен числу ребер графа, соединяющих v_i и v_j. Смежная матрица графа симметрична.

Матрица смежности орграфа с вершинами {v₁, v₂, …, v_n} — квадратная матрица A = (a_ij) (n  n), где элемент a_ij равен числу дуг (v_i, v_j) орграфа.

Упр. 7. Вычислите три матрицы смежности для двух орграфов и их графа-основания из примера выше.

П. 3. Цепь Маркова

1. Случайное блуждание. Хорошо известна задача о пьянице, стоящем между кабачками «Черный кот» (ЧК) и «Золотой дракон» (ЗД). Каждую минуту он либо передвигается на 10м в сторону ЧК с вероятностью 1/2, либо в сторону ЗД с вероятностью 1/3, либо остается на месте с вероятно­стью 1/6. Такое поведение называется случайным блужданием.

Пусть оба кабачка «поглощающие»: если пьяница попадает в один из них, то он там и остается, расстояние между кабачками 50м, и пьяница находится в 20м от ЗД. Обозначим места, где пьяница может остановиться, через E₁­, …, E₆ (здесь E₁ и E₆ — ЧК и ЗД соответственно). Тогда его начальное положение E₄ задается вектором (строкой чисел) x = (0, 0, 0, 1, 0, 0), i-я компонента кото­рого равна вероятности того, что он сначала находится в E_i.

Легко посчитать, что по прошествию одной минуты вероятности его местоположения описываются вектором (0, 0, 1/2, 1/6, 1/3, 0).

Упр. 8. Выпишите вектор местоположения пьяницы через две минуты.

Теперь понятно, что вычисление вероятности нахождения пьяницы в заданном месте по прошествии k минут становится затруднительным.

2. Определение. Назовем вектором вероятностей вектор-строку, все компоненты которого неотрицательны и дают в сумме единицу. Тогда матрица перехода P — это квадратная матрица, т.е. квадратная таблица, в которой каждая строка является вектором вероятностей. Каждый элемент матрицы p_ij называется вероятностью перехода из позиции E_i (которой соответствует строка матрицы) в позицию E_j.

В нашем случае имеем (6  6)-матрицу P = (p_ij). Например, p₂₃ = 1/3, p₂₄ = 0. Заметим, что все p_ij неотрицательны и сумма элементов любой из строк равна 1.

Цепью Маркова называется пара (P, x), где P есть (n  n)-матрица пере­хода, а x есть (1 n)-вектор-строка — начальный вектор вероятностей.

Позиции E_i (в случае с пьяницей этих позиций 6) называются состояниями цепи Маркова, и в дальнейшем будут описаны разные способы их классификации.

Нас интересует следующее: за какое наименьшее время можно попасть из одного данного состояния в другое. Например, в задаче о пьянице из E₄ в E₁ можно попасть за 3 минуты и вообще нельзя попасть из E₁ в E₄. Итак, интересны не сами вероятности p_ij, а то, положительны они или нет.

Упр. 9. За какое наименьшее время в задаче о пьянице можно попасть из E₁ в E₆? А из E₂ в E₆?