§ 3. Теория вероятностей
А Банкир, положение дел оценя,
Предложил то, что именно надо:
Договор страхованья квартир от огня
И на случай ущерба от града.
Льюис Кэрролл. Охота на Снарка.
П. 1. Вероятность
1. Интуитивное определение. Эксперимент, или опыт — действие, которое возможно повторить. Любимый эксперимент — бросание монеты: монета падает кверху либо гербом, либо решеткой. Тот факт, что монета упала, например, гербом кверху, называется событием, или исходом.
Повторим эксперимент n раз и разделим количество выпавших гербов на n,— получим некоторое число — частоту события. Произведем еще несколько серий этого эксперимента и вычислим для каждой серии эту частоту. Эксперимент обладает свойством статистической устойчивости, если все полученные частоты близки при достаточно больших n. Частоты выпадения герба группируются около 0,5.
Число, около которого колеблется частота события A, и называется вероятностью события A. Обозначение: P(A). Теория вероятностей изучает математические модели случайных экспериментов, непременно обладающих свойством статистической устойчивости.
2. Математическое определение. Пространство элементарных событий — конечное или счетное множество, т.е. дискретное пространство. Обозначения: = {1, 2, …}, или = {i, i = 1, 2, …}. Каждому элементу — элементарному событию i , i = 1, 2, …— отвечает число P(i) — вероятность элементарного события. Эти вероятности всегда подчиняются следующим аксиомам вероятности:
1) 0 P(i) 1;
2)
P(i) = 1. A
С
обытие
(исход) —
подмножество A
множества .
Элементарные
события i A благоприятны
для A.
Вероятность
события
A
— это сумма вероятностей событий
iA: P(A) =
P(i).
Если P(A) = 1, то событие A называется достоверным, если P(A) = 0 — невозможным. Очевидно, что P() = 1, P() = 0.
Пример. Эксперимент — бросание монеты. Пространство элементарных событий состоит из 2 событий. Их вероятности в сумме дают 1/2 + 1/2 = 1.
Упр. 1. Найти вероятность того, что количество очков, выпавших при бросании игральной кости (т.е. игрального кубика), равно 1 или 6.
3. Алгоритм нахождения вероятности. Как же находить вероятности? 1. Пространство элементарных событий есть множество всех мыслимых событий эксперимента. 2. Если из соображений симметрии очевидно, что все элементарные события равновероятны, то тогда конечно, и i P(i)=1/. 3. P(A) = A/.
Пример. Из 25 экзаменационных билетов — 5 «счастливые». У какого студента больше вероятность взять «счастливый» билет: первого или второго? Пусть «счастливые номера» — 1, 2, 3, 4, 5. Рассмотрим пространство = {(i, j): i, j = 1, …, 25, i j}, где i — номер билета, взятого 1-м студентом, j — 2-м. Применим алгоритм нахождения вероятности события. Элементарные события равновероятны, и = 600. Событие A «1-й студент взял „счастливый“ билет» имеет вид A ={(i, j): i=1, 2, 3, 4, 5, j=1,…,25, ij}, и A = 120. Событие B «2-й взял „счастливый“ билет» имеет вид B ={(i, j): i=1, …, 25, j=1, 2, 3, 4, 5, i j}, и B = 120. Следовательно, P(A) = P(B) = 120/600 = 1/5.