Построение эмпирической вариограммы

Для создания эмпирической вариограммы необходимо вычис­лить квадрат разности между значениями для всех пар опорных точек. Если вы нанесете эти значения на график, отложив по оси у половину квадрата разности, а по оси х - расстояние, на кото­рое отстоят опорные точки, вы получите диаграмму, которая носит название облака вариограммы. На нижнем рисунке пока­заны пары одной из опорных точек (которая показана красным цветом) с 11 другими опорными точками.

Одна из основных целей вариографии - изучение и количествен­ная оценка пространственной зависимости, которая также но­сит название пространственной автокорреляции. Пространст­венная автокорреляция количественно оценивает предположе ние, что объекты, расположенные ближе друг к другу, более похожи чем удаленные друг от друга. Таким образом, пары опорных точек, которые расположены ближе (на облаке вариограммы это точки, расположенные в начале оси х) будут иметь сход­ные значения (низкие значения на оси у облака вариограммы). Поскольку пары опорных точек становятся удаленными на все большее расстояние (движение вправо по оси х облака варио­граммы), точки должны становиться более непохожими и иметь более высокое значение квадрата разности (увеличение значе­ний по оси у облака вариограммы).

Рисунок - шш

Бининг (группировка значений) эмпирической вариограммы

Как вы видите из рисунка шш , на котором показано расположение точек в ландшафте и облако варио­граммы, задача нанесения на график каждой пары опорных точек трудновыполнима из-за большого объема данных. Большое количество точек на графике делает его пере­груженным, и вы не можете адекватно интерпретировать его. Чтобы сократить количество точек на эмпирической вариограм-ме, пары опорных точек должны быть сгруппированы на основе их удаленности друг от друга. Этот процесс группировки значе­ний известен, как бининг.

Бининг - это двухстадийный процесс. Во-первых, формируются пары точек, а во-вторых, эти пары группируются таким образом, чтобы точки были удалены на одинаковое расстояние и распола­гались в одинаковом направлении. На изображении ландшафта с 12 опорными точками, вывидите, как подобраны пары для одной опорной точки, показанной красным цветом. Одинаковым цве­том соединяющих отрезков показаны пары со сходными бинами.

Этот процесс продолжается для всех возможных пар точек. Как вы можете заметить, в процессе образования пар, число пар быстро увеличивается с добавлением каждой новой опорной точ­ки. Поэтому для каждого бина на графике облака вариограммы среднее значение расстояния и дисперсии для всех пар этого бина отображается одной точкой .

На рисунке внизу показаны все возможные парные связи между всеми 12 опорными точками. Точки развернуты таким образом, чтобы север был вверху.

Рисунок

На втором этапе процесса бининга, пары группируются на осно­ве аналогичных расстояний и направлений. Представьте такой график, на котором каждая точка имела бы одно и то же начало координат. Это свойство делает эмпирическую вариограмму сим­метричной. Всегда откладывайте связующие отрезки справа от вертикальной оси.

Вы видите, что связующие отрезки 1 и 2 имеют приблизительно одно и то же расстояние и направление. Каждая ячейка грида образует бин. Связующие отрезки 1 и 2 попадают в один и тот же бин, показанный желтым цветом. Для связующего отрезка 1 найдите квадрат разности значений двух связанных опорных точек, и то же самое проделайте для связующего отрезка 2. За­тем найдите их среднее и умножьте его на 0.5, чтобы получить одно значение эмпирической вариограммы для бина.

Выполните эту операцию для другого бина, показанного зеле­ным цветом, со связующими отрезками 3 и 4. Чтобы упростить понимание, показаны только четыре связи, но конечно же, их гораздо больше.

Для каждого бина определяется квадрат разности значений для всех пар связываемых опорных точек, затем вычисляется сред­нее значение, оно умножается на 0.5, и мы получаем одно значе­ние вариограммы для бина. В модуле Geostatistical Analyst вы можете контролировать размер лага и число бинов. Значение эмпирической вариограммы для каждого бина обозначается цве­том, полученное изображение носит название поверхности ва­риограммы.

На верхнем рисунке показаны семь бинов по горизонтали и по вертикали от центра поверхности вариограммы. Для бинов "хо­лодные" цвета (синие и зеленые) обозначают низкие значения, а "теплые" цвета (красный и оранжевый) обозначают высокие значения. Как видите, в целом, значения эмпирической варио­граммы увеличиваются по мере удаления бинов от центра. Это означает, что значения сильнее различаются с увеличением рас­стояния. Также обратите внимание на симметрию, описанную ранее.

В модуле Geostatistical Analyst можно также построить график эмпирической вариограммы.

На графике, приведенном выше, значение эмпирической вари­ограммы для каждого бина для каждого направления показано красной точкой (по оси у отложены значения эмпирической ва­риограммы, а по оси х - расстояние от центра бина до начала координат (центра поверхности вариограммы)). Цветовая шка­ла справа от графика соответствует цветам на поверхности ва­риограммы. После выполнения бининга и усреднения значений облака вариограммы, становится более очевидным, что разли­чия увеличиваются с расстоянием. Желтая линия на верхнем рисунке - это подобранная модель вариограммы, которую мы будем обсуждать далее.