Тема 8. Статистична обробка результатів педагогічного дослідження План

8.1. Основні поняття математичної статистики.

8.2. Основні типи вимірювань у педагогічних дослідженнях.

8.3. Кореляція.

8.4. Статистична обробка результатів педагогічного експерименту.

8.4.1. Відбір контрольних і експериментальних груп.

8.4.2. Статистичні критерії.

8.4.3. Загальні підходи до вибору методів перевірки ста-тистичних гіпотез.

4. Приклад перевірки достовірності результату педаго-гічного експерименту за критерієм Стьюдента ( -критерій).

5. Приклад перевірки однорідності незалежних вибірок за критерієм (Хі – квадрат).

6. Приклад перевірки однорідності незалежних вибірок за критерієм Вілконсона-Манна-Уітні.

8.1. Основні поняття математичної статистики

При аналізі багатьох педагогічних явищ важливу роль відіграють середні величини, які дозволяють глибше зрозуміти особливості об’єкта спостереження. У математичній статистиці є декілька видів середніх величин: середнє арифметичне, медіана, мода і т.ін. Крім того, існує декілька показників коливання (міри розсіювання): варіа-ційний розмах, середнє квадратичне відхилення, середнє абсолютне відхилення, дисперсія тощо.

Середнє арифметичне є абстрактною типовою характеристикою цієї сукупності. Воно згладжує, нівелює випадкові й невипадкові коливання, вплив індивідуальних особливостей та дозволяє подати однією величиною деяку загальну характеристику реальної сукупності одиниць. Середнє арифметичне вираховується як частина від поділу суми величин на їх число і вираховується за формулою:

, (1)

де – середнє арифметичне;

– результати окремих спостережень, значення ознаки;

– кількість спостережень;

– сума результатів усіх спостережень.

Приклад: вирахуємо середнє число годин, які щоденно витра-чаються студентами на самостійну роботу (у вибірці із 20 осіб) (табл. 8.1).

Таблиця 8.1

Витрата часу студентами групи а-2 на самостійну роботу (год.)

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
t	2,2	3,2	1,9	3,0	2,8	4,0	1,9	2,3	2,9	3,3	2,0	3,7	1,7	2,4	3,3	1,8	1,7	3,4	3,2	1,9

Знаходимо загальну суму часу, який витрачають опитані на самостійну роботу:

год.

За формулою (1) знаходимо:

При обрахуванні середнього арифметичного для згрупованих даних формула (1) має вигляд:

, (2),

де – частота для і-го значення ознаки.

Процедура знаходження середнього за згрупованими даними виконується за схемою, яка наведена у табл.8.2.

Таблиця 8.2

Інтервал	Середина інтервалу ( )	Частота (відносна)	Добуток
Послідовно записуються усі інтервали

Приклад. Наведені дані щодо щоденної витрати часу на самостійну роботу групою студентів із 20 осіб згрупуємо й продемонструємо у табл. 8.3.

Таблиця 8.3

Інтервал, год.	Середина інтервалу	Частота (відносна)	Добуток
1 – 2	1,5	7	10,5
2 – 3	2,5	5	12,5
3 – 4	3,5	8	28

Звідси вираховуємо:

год.

Медіаною називається значення досліджуваної ознаки, зліва і справа від якої знаходиться однакова кількість елементів вибірки за шкалою, побудованою за зростанням чи зменшенням чисел. Місце розташування медіани визначається за формулою:

(3)

Якщо в ряду парне число членів ( ), то медіана дорівнює середньому арифметичному з двох серединних значень ознаки; при непарному числі членів ( ) медіанним буде значення ознаки у ( ) об’єкта.

Наприклад, у вибірці з 10 осіб респонденти проранжовані за пе-дагогічним стажем роботи на кафедрі (табл. 8.4).

Таблиця 8.4

Дані щодо педагогічного стажу викладачів кафедри

Ранг викладача	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Педагогічний стаж	15	13	10	9	7	6	5	4	3	1

Знаходимо місце медіани: (серединні значення 5 і 6).

Звідси медіана дорівнює:

За результатами визначення медіани можна зробити висновок, що більше половини викладачів кафедри мають стаж 6,5 років.

Варто додати, що:

- медіана ділить впорядкований варіаційний ряд на дві рівні по чисельності групи;

- квартилі ділять ряд розподілу на 4 рівні частини;

- процентилі ділять множину на 100 частин з рівним числом спостережень у кожній;

- децилі ділять множину спостережень на 10 рівних частин;

Квантилі (квартилі, процентилі, децилі) легко вираховуються за розподілом накопичених частот.

Модою у статистиці називають значення ознаки, яке найчастіше зустрічається і з яким найбільш вірогідно можна зустрітися в серії зареєстрованих спостережень. Іншими словами, – це типове значення ознаки, яке найчастіше зустрічається серед інших значень. Мода від-повідає класу з максимальною частотою. Цей клас називають модальним значенням.

У дискретному ряді мода ( ) – це значення з найбільшою частотою. В інтервальному ряді (з рівними інтервалами) модальним є клас з найбільшим числом спостережень. При цьому значення моди знаходиться в його межах і вираховується за формулою:

, (4)

де – нижня границя (межа) модального інтервалу;

– величина інтервалу;

– частота інтервалу, який знаходиться попереду;

– частота інтервалу, наступного за модальним;

– частота модального класу.

Приклад. На питання анкети: «Вкажіть ступінь володіння іно-земною мовою» відповіді 598 студентів першого курсу інженерних спеціальностей були такими:

• володію вільно – 31;

• володію достатньо для спілкування – 60;

• володію, але відчуваю труднощі при спілкуванні – 278;

• розумію важко – 195;

• не володію – 34.

Цілком очевидно, що типовим значенням у наведеному прикладі є «володію, але відчуваю труднощі при спілкуванні», яке і буде модальним. Таким чином, мода дорівнює 278.

До основних недоліків моди як виду середніх величин варто віднести:

• неможливість виконувати над модою алгебраїчні дії;

• залежність її величини від інтервалу групування;

• можливість існування в ряді розподілу декількох модальних значень ознаки.

Для характеристики рядів розподілу є недостатнім мати лише середні величини даної ознаки, бо два ряди, наприклад, можуть мати однакові середні арифметичні, але ступінь концентрації (чи «розки-дання») значень ознак навкруг середньої буде зовсім іншим. Характе-ристикою такого розкидання є показники розсіювання – дисперсія, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

Дисперсією називають величину, рівну середньому значенню квад-рата відхилень окремих значень ознак від середньої арифметичної.

Дисперсія вираховується за формулою:

(5)

Послідовність вирахування дисперсії така:

• визначення відхилення від середнього значення;

• вирахування квадрата зазначеного відхилення;

• знаходження суми квадратів відхилення і середнього значення квадрата відхилень (табл. 5).

Приклад. За результатами виконання контрольної роботи сту-денти групи отримали такі оцінки: «відмінно» – 4 особи; «добре» – 8 осіб; «задовільно» – 5 осіб; «незадовільно» – 5 осіб. Для вирахування дисперсії оцінок студентів слід скласти таблицю (табл. 8.5).

Таблиця 8.5

№ п/п	Оцінка	Відхилення від середнього	Квадрат відхилення
1	2	-1,5	2,25
2	5	1,5	2,25
3	3	-0,5	0,25
4	4	0,5	0,25
5	2	-1,5	2,25
6	4	0,5	0,25
7	5	1,5	2,25
8	3	-0,5	0,25
9	4	0,5	0,25
10	4	0,5	0,25
11	2	-1,5	2,25
12	4	0,5	0,25
13	3	-0,5	0,25
14	5	1,5	2,25
15	4	0,5	0,25
16	2	-1,5	2,25
17	4	0,5	0,25
18	3	-0,5	0,25
19	4	0,5	0,25
20	5	1,5	2,25
21	3	-0,5	0,25
22	2	-1,5	2,25

Цілком очевидно, що величина дисперсії не дозволяє спосте-рігачеві безпосередньо зробити певні узагальнення щодо розкиду досліджуваної змінної. Величиною, яка безпосередньо пов’язана зі змістовими характеристиками змінної, є середнє квадратичне відхилення. Середнє квадратичне відхилення підтверджує типовість і показовість середньої арифметичної та відображає міру коливання числових значень ознаки. Воно дорівнює кореню квадратному із дисперсії та визначається за формулою:

, (6)

де – дисперсія.

У попередньому прикладі щодо результатів виконання студентами контрольної роботи дисперсія дорівнює 1,27. Тоді середнє квадратичне відхилення буде:

.

Отримані дані можна інтерпретувати таким чином: при середній оцінці 3,5 виконання контрольної роботи всі інші студенти групи мають оцінку, яка в середньому відхиляється від 3,5 на 1,13.

Середнє квадратичне відхилення є мірою абсолютного коливання ознаки і завжди виражається у тих самих одиницях вимірювання, що й ознака. Це не дозволяє зіставити між собою середні відхилення різних ознак, а також однієї й тієї ж ознаки у різних сукупностях. Щоб мати таку можливість, слід середні відхилення виразити у від-сотках до середнього арифметичного – у вигляді відносних величин. Відношення середнього квадратичного відхилення до середнього арифметичного називають коефіцієнтом варіації ( ):

(7)

Природно, з двох порівнювальних рядів той має більший розкид, у якого коефіцієнт варіації більший.