Номера вариантов

№ варианта	ФИО студента группы КС-2-1
	Андреев А.Ю.
	Барабанщиков А.Е.
	Барташук Т.Д.
	Беркалиев К.С.
	Гаршин А.С.
	Герасимов А.С.
	Горячев С.А.
	Григорьев В.Ю.
	Дмитриев С.
	Ефименко К.В.
	Кармишин К.А.
	Кукатин В.А.
	Курапов И.В.
	Макаренко И.А.
	Могутов Б.В.
	Пехтелев Д.А.
	Прокуев К.П.
	Савченко Д.С.
	Сапельникова А.А.
	Сивов П.А.
	Соловьёв В.А.
	Стрюков А.А.
	Сухов Б.В.
	Федосеенко Н.Ю.
	Фомичев М.С.
	Числов Т.С.
	Юлдашев А.Р.

Определители Основные теоретические сведения

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества. Записывается матрица в виде

.

Квадратная матрица А любого порядка характеризуется неким числом, называемым её определителем.

Обозначают определитель матрицы А либо det A, либо Δ (прописная греческая буква дельта), либо .

Если порядок матрицы равен единице, то определитель такой матрицы есть величина этого одного элемента: А = (6), значит det A = 6.

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы второго порядка называется число . Определитель матрицы обозначается .

Правило, по которому вычисляется определитель матрицы второго порядка, схематически можно изобразить следующим образом:

или

Пример 1. Вычислить определитель .

Решение. .

Ответ: 17.

Определителем квадратной матрицы третьего порядка называется число .

Заметим, что каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части последней формулы представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Этому произведению приписывается соответствующий знак. Чтобы запомнить, какие произведения следует брать со знаком «плюс», какие – со знаком «минус», можно пользоваться правилом, схематически изображенным следующим образом:

.

Определитель матрицы 3-го порядка обозначается

Этот метод вычисления определителя называют правилом Саррюса или правилом треугольников.

Схема этого метода: .

Пример 2. Вычислить определитель .

Решение. .

Ответ: - 12.

Метод параллельных полос.

Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс». Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример 3. Вычислить определитель методом параллельных полос.

Решение.

Ответ: 204.

Определителем матрицы n-го порядка называется сумма всех произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца; при этом каждое произведение снабжено знаком «плюс» или «минус» по некоторому правилу.

Вычисление определителей выше третьего порядка производится путем использования различных свойств, которыми обладают определители.

Минором элемента называется определитель (n1)-го порядка , из определителя n-го порядка вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Пример 4.

Алгебраическое дополнение элемента определяется равенством .

Алгебраическое дополнение по модулю совпадает с соответствующим минором; и если i + j нечётная, то знак алгебраического дополнения противоположен знаку соответствующего минора, а если сумма i + j чётная, то знак - совпадает.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Для ,

где ; .

Пример 5. Вычислить данный определитель четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу:

• 

Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак, имеем

Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать по второй строке:

• 

• 

• 

• Таким образом окончательно получим _.

_{Ответ: -1.}

Пример 6. Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы

Решение. Будем занулять все, кроме первого, элементы первой строки. С этой целью вычтем из второго, третьего и четвёртого столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2, 3 и 4. Получим:

• 

• Представленный в таком виде определитель разложим по первой строке:

• 

• Определитель третьего порядка, к которому свёлся исходный определитель, будем вычислять тем же способом. Вычтем из второго и третьего столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

Ответ: 160.