10 Алгебра логики

1. Представить в инфиксной форме следующие логические функции, заданные в префиксной форме:

а), если f₁, f₂– бинарные операции, причем f₁ – , f₂ – . Вычислить значения функций на наборе (0, 1), если х₁=0, х₂=1;

б) , если f₁, f₂, f₃ – бинарные операции, причем f₁ – , f₂ – , f₃ – . Вычислить значения функций на наборе (0, 1, 1), если х₁=0, х₂=1, х₃=1 .

в) , если f₁, f₂ – бинарные операции, причем f₁ – , f₂ – . Вычислить значения функций на наборе (0, 1), если х₁=1, х₂=0;

г) , если f₁, f₂, f₃ – бинарные операции, причем f₁ – , f₂ – , f₃ – . Вычислить значения функций на наборе (0, 1, 1), если х₁=0, х₂=1, х₃=1.

2. Составить таблицы истинности следующих функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Доказать или опровергнуть эквивалентность (равносильность) следующих функций:

а) = ;

б) = ;

в) хy х =x;

г) х х х = х y .

4. Подтвердить истинность следующих схем логически правильных заключений:

а) правила заключения;

б) правила отрицания;

в) правила утверждения-отрицания;

г) правила отрицания-утверждения;

д) правила транзитивности;

ж) правила противоречия;

з) правила контрапозиции;

к) правила сложной контрапозиции;

л) правила сечения;

м) правила импортации;

н) правила экспортации;

п) правила дилемм.

5. Представить булевой формулой в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ) следующие логические функции:

а) ~ ;

б) ~ ;

в) ~ ;

г) ~ ;

6. Упростить булевы формулы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7. Представить в базисе { ┐} следующие логические функции:

;

;

;

.

8. Упростить с использованием метода Блейка-Порецкого СДНФ следующих функций:

;

;

;

.

9. Получить дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ) следующих логических функций двумя способами (табличным и с помощью эквивалентных преобразований):

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

10. Для функций, указанных в пункте 9, получить конъюнктивную нормальную форму (КНФ) и совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ) двумя способами (табличным и с помощью эквивалентных преобразований).

11 Логика предикатов

1. Проиллюстрировать на примере предиката порядка понятия истинного, ложного и переменного высказываний.

2. Записать предикатной формулой предложение, которое выражает для произвольных a,b,c N в модели , называемой в логике предикатов арифметикой натуральных чисел, где N - множество натуральных чисел и -предикаты суммы, произведения, равенства соответственно:

а) коммутативность умножения;

б) ассоциативность сложения;

в) ассоциативность умножения;

г) дистрибутивность слева умножения относительно сложения;

д) дистрибутивность справа умножения относительно сложения;

е) транзитивность равенства.

3. Рассмотреть варианты навешивания кванторов на предикат Р(х), определенный на множестве натуральных чисел с нулем N₀. Дать словесную формулировку исходных и полученных высказываний и определить их истинность, если:

a)P (x) = yS(y, y, x);

б) Р(х) = П(у,у, х);

в)Р(х) = уП(х,у,у);

г) Р (х) = yS(x,y,y).

4. Рассмотреть варианты навешивания кванторов на предикат Р(х), определенный на множестве натуральных чисел N. Дать словесную формулировку исходных и полученных высказываний и определить их истинность, если:

a)P(x) = yЕ(y, y, x);

б)Р(х) = уЕ(х,у,у).

5. Пусть Q(x, у) - предикат порядка «х≤y», определенный на конечном множестве натуральных чисел М = {0,1,2, 3,..., 9}. Рассмотреть различные варианты квантификации его переменных. Определить истинность получаемых выражений.

6. Определить истинность, ложность либо выполнимость в области N₀натуральных чисел следующих формул:

а) x y z u ((S(x, у, z) &S(х, y, u)) → E(z,u));

б) (S(х, у, z) &S(y, x, u)) → E(z, u);

в) x y z u ((П(x, y, z) & П(у, x, и)) → E(z, u));

г) y(П(x,x,y) →S(x,x,y)) ;

7. Определить истинность, ложность либо выполнимость в области N₀натуральных чисел следующих формул:

д) x y z ((П(x, y,z)& E(x, y)) → S(x, y, z));

е) y((S(x,y,z)vE(x,z)) → Q(x,z));

ж) Q (х,y) → ( yS(x ,y,z) v E(x,z));

з) xП(x,y, z) →D(z,y));

8. Определить истинность, ложность либо выполнимость в области N₀натуральных чисел следующих формул:

и) xS(x,y,y) → xS(х, y, y);

к) х П(у, x, у) → y П(у, х, у);

л) хS(х,х,y);

м) yS(x,x,y).

9. Получить ПНФ формул в задании 6.

10. Получить ПНФ формул в заданиях 8.