Сызықтық бір тектес емес дифференциалдық теңдеуді тұрақтыны вариациялау әдісімен интегралдау

Айталық,

(11)

теңдеуі берілсін. Мұнда , k=1,2,...,n және f(x) функциялары [a,в] сегментінде үзіліссіз функциялар. Сондай–ақ (4.24) теңдеуге сәйкес келетін біртектес теңдеудің, яғни

(12)

теңдеуінің фундаментальді шешімдер системасы белгілі болсын, онда

(13)

формуласы (12) теңдеудің жалпы шешімін береді. Міне осылар белгілі болған жағдайда біртектес емес теңдеудің шешімін мына тұрде немесе

(14)

іздейміз. Мұнда жаңа белгісіз функциялар. белгісіз функцияларын табу үшін функцияларын байланыстыратын n теңдеу қажет. Мұндай системаны құрғанда алғашқы теңдеуді еркін түрде таңдап алып, ал n–ші теңдеуді (14) функция (11) теңдеудің шешімі болатындай етіп іздейді. Алғашқы (n-1) теңдеулер ретінде төмендегі теңдеуді аламыз.

(15)

Сондай-ақ (14) формуламен анықталған функция (11) теңдеудің шешімі болу үшін функциялары тағы да мына

(16)

теңдікті қанағаттандырулары керек. Енді (15) және (16) теңдеулерден тұратын төмендегі системаны құрамыз.

(17)

Құрылған системаның негізгі анықтауышы функцияларының Вронский анықтауышы болады. Ол , өйткені функциялары фундаментальды шешімдер системасын құрайды. Сондықтан (17) системаның жалғыз ғана шешімі болады. Яғни, Осыдан үшін табылған өрнекті (14) теңдікке апарып қойып, (11) теңдеудің жалпы шешімін табамыз.

мұнда - еркін тұрақтылар.

Мысал-3. теңдеуінің жалпы шешімін тап.

Алдымен біртектес теңдеудің жалпы шешімін табамыз . Ол үшін сипаттаушы теңдеуді шешеміз. Осыдан . Енді берілген теңдеудің шешімін

(*)

түрінде іздейміз. Белгісіз және функцияларын табу үшін төмендегі системаны құрамыз.

Системаны Крамер әдісі бойынша шешейік.

, мұнда

және өрнектерін (*) теңдеуіне апарып қойып, берілген теңдеудің жалпы шешімін табамыз.

Тұрақты коэффициентті сызықты біртектес емес дифференциалдық теңдеулер

Коэффиценттері тұрақты сан болғанда сызықтық біртектес емес дифференциалдық теңдеуді кейбірде оңай әдістермен, мысалы анықталмаған коэффиценттер әдісімен шығару мүмкін болады. Төменде біз осы әдіс туралы айтамыз.

1. (18)

теңдеуін қарастырамыз. Мұнда -нақты сандар, дәрежелі көпмүшелік, яғни

Бірінші теңдеуге сәйкес келетін біртектес теңдеудің сипаттаушы теңдеуі

(19)

немесе мұнда - сипаттаушы көпмүшелік .

а) Егер болса,

(20)

сипаттаушы теңдеудің түбірі болмайды, онда (18) теңдеудің дербес шешімі бар болады және ол m дәрежелік көпмүшелік ретінде анықталады, демек

(21)

Мұнда -анықталмаған коэффиценттер. - коэффиценттері бір мәнді түрде анықталады. Өйткені функциясының өрнегін (18) теңдеуге қойғанда, теңдеудің екі жағы бірдей дәрежелі (m дәрежелі) көпмүшелік болады. Ал екі көпмүшелік біріне-бірі тең болу үшін белгісіздің бірдей дәрежелерінің коэффиценттері тең болуға тиіс.

Осыдан анықталмаған коэфиценттерін байланыстыратын m сызықтық алгебралық теңдеулер системасын аламыз, оны шешу арқылы коэффиценттерін анықтап, (21) теңдікке апарып қойып, бірінші теңдеудің дербес шешімін табамыз.

б) Айталық, болсын. Жалпылық үшін , деп алайық, бірақ болсын. Бұл жағдайда теңдеудің еселі түбірі болады. Онда (18) теңдеу мына түрге келеді:

(22)

а) жағдайы бойынша болуы керек, онда дәрежелі көпмүшелік болады. Және оның дәрежеден кіші дәрежелерінің коэффиценттері кез келген сандар болса да ақырғы нәтижеге әсері болмайды. Сондықтан аталған коэффиценттер нөльге тең деп есептейміз. Олай болса түрінде іздеуге болады.

Сөйтіп, егер сипаттаушы теңдеудің еселі түбірі болса, онда (18) теңдеудің дербес шешімі коэфиценттері анықталмаған m дәрежелі көпмүшелік пен х^r-нің көбейтіндісі түрінде іздеу керек:

Мысал-4. теңдеуінің дербес шешімін тап сипаттаушы теңдеудің түбірлері жай түбір теңдеуінің оң жағы бір дәрежелі көпмүшелік, сондықтан

-ты берілген теңдеуге қойып, х-тің бірдей дәрежелерінің коэфиценттерін салыстыру арқылы болатынын көреміз. Сондықтан .

2. Енді мына түрдегі

(23)

теңдеудің шешімін іздейміз (23) теңдеудің дербес шешімі

(24)

түрінде іздейік. Мұнда функциясын

(25)

тепе-теңдігі орындалатындай етіп таңдап аламыз.

егер функцияларын тиісінше сандарына көбейтіп, бағаны бойынша қоссақ, төмендегі теңдікке келеміз.

(25) тепе-теңдігі орындалу үшін, функциясы

(26)

теңдеуінің шешімі болу керек .

Жоғарыда талқылағандай, егер демек сипаттаушы теңдеудің түбірі болмаса, онда (25) теңдеудің шешімін түрінде іздейміз. Ал (23) теңдеудің шешімі

(27)

түрінде ізделінеді.

Егер саны сипаттаушы теңдеудің r еселі түбірі болса, яғни онда (25) теңдеудің шешімі түрінде ізделіп, ал (23) теңдеудің шешімін

(28)

түрінде іздеуге тура келер еді. Мұнда, бұрында айтқандай m дәрежелі, коэффиценттері анықталмаған көпмүшелік,

Мысал-5. теңдеуінің дербес шешімінің түрін жаз (көрсет). сипаттаушы теңдеуінің түбірлері , демек m=1.

Бірге тең болатын а саны сипаттаушы теңдеудің теңдеудің екі еселі (r=2) түбірі. Сондықтан дербес шешімнің түрі төмендегідей болады.

3. Жоғарыдағы келтірілген пайымдаулар а саны комплекс сан болғанда да әділ болады.

Тағы да

(29)

теңдеуін қарастырайық. Мұнда

(30)

,

формулаларын (Эйлер формулалары) пайдаланып f`(x) функциясының оң жағын төмендегі түрге келтіруге болады:

(31)

Мұнда M(x) және N(x) дәрежелері m және s санының ең үлкеніне тең болатын комплекс мәнді көпмүшеліктер.

Енді (31) формуланың оң жағындағы қосылғыштардың әрқайсысына жоғарыдағы ережені қолданып (29) теңдеудің дербес шешімінің түрін анықтауға болады. Демек, егер теңдеуінің түбірі болмаса, онда (29) теңдеудің дербес шешімін (31) түрде іздейміз. Ал егер сипаттаушы теңдеудің r еселі түбірі болса, онда (29) теңдеудің дербес шешімі (31) өрнек пен -нің көбейтіндісі түрінде ізделінеді.

Осы ереже f(x) функциясының алғашқы (берілген) өрнегі үшін былай тұжырымдалады:

егер сипаттаушы теңдеудің түбірі болмаса, онда (29) теңдеудің дербес шешімі түрінде ізделінетін болады. Мұнда, U(x) және V(x) тағы да дәрежелері k=max(m,s)–ге тең болатын коэффиценттері анықталмаған көпмүшеліктер.

Ал егер , сипаттаушы теңдеудің r еселі түбірі болса, онда (29) теңдеудің дербес шешімі мына түрде ізделінетін болады. Мұнда, және тағы да дәрежелері k=max(m,s)–ке тең болатын коэффиценттері анықталмаған көпмүшеліктер.

Белгісіз коэффиценттер жоғарыда көрсетілгендей анықталмаған коэффиценттер әдісі бойынша табылады.

Мысал-6. теңдеуінің дербес шешімін тап.

сипаттаушы теңдеуінің түбірлері . Біздің жағдайымызда =0, =1, сондықтан . Бұл сан сипаттаушы теңдеудің түбірі емес;

Демек, дербес шешім мына түрде .

функциясын берілген теңдеуге қойып, А=0, В= екенін табамыз.

= sin x.

Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар:

1 Сызықтық біртектес емес дифференциалдық теңдеулер

2 Жалпы шешім құрылымы

3 Дербес шешім табу үшін Лагранж әдісі

4 Тұрақты коэффициентті сызықтық біртектес емес дифференциалдық теңдеулер

Қолданылған әдебиеттер:

1. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1985

2. Қалиев С.Қ., Искакова М.Т. Дифференциалдық теңдеулер және варияциялық есептеу негіздері, Семей – 2005

3. Филлипов А.Ф. Сборник задач по обыкновенные дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1984

4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - Москва.: Изд-во МГУ, 1984.

5. Қадыкенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулердің есептері мен жаттығулары Алматы: Қазақ университеті, 2002

ДӘРІС 13

Дәріс сабақтың құрылымы:

1 Жоғарғы ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

2 Сызықтық біртектес теңдеулер

3 Сызықтық дифференциалдық оператор

4 Сызықтық тәуелді және сызықтық тәуелсіз функциялар жүйесі

5 Вронский анықтауышы

6 Сызықтық біртектес дифференциялдық теңдеудің жалпы шешімінің құрылымы. Лиувилль формуласы

7 Тұрақты коэффициентті сызықтық біртектес дифференциалдық теңдеулер

Дәріс сабақтың мазмұны:

(1)

түріндегі теңдеуді n ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп атайды.

Мұнда , функциялары белгілі бір интервал -да берілген функциялар.

Егер g(x) 0 болса, онда (1) теңдеуді сызықтық біртектес теңдеу дейді. Ал

Ал , онда сызықтық біртектес емес теңдеу болады.

Айталық,

сызықтық біртектес теңдеуі берілсін.

Егер белгілі бір интервалда болса, онда берілген теңдеудің барлық мүшелерін -ке бөліп төмендегі теңдеуді аламыз

(2)

Еске сала кетейік. Егер (2) теңдеудегі ,

f(x) белгілі бір интервалда үзіліссіз болса, онда (1) теңдеу үшін тұжырымдалған Коши есебінің жалғыз ғана шешімінің бар болатынын өткен тарауда көрсеткен болатынбыз.

Айталық Е және F функциялар жиыны болсын. Егер әрбір функциясына белгілі бір заңдылық бойынша бір ғана функциясы сәйкес қойылса, онда мәндері F жиынында жататын, Е жиынында анықталған (берілген ) оператор берілді дейді.

Оны былай белгілейді А: , немесе f=Ay.

Егер Е сызықтық кеңістік болса және мына теңдіктер

1) ,

2) , -сан

орындалса онда А сызықтық оператор деп аталады. (2) теңдеудің сол жағын L[y] арқылы белгілейік:

L-сызықтық оператор болады.

Шынында да,

осының салдары ретінде

теңдігін аламыз мұнда - тұрақтылар - операторын бұдан былай сызықтық дифференциалдық оператор деп атайтын боламыз.

Ал (4.2) теңдеуді қысқа түрде (2^/)

Сызықтық біртектес теңдеудің кейбір қасиеттерін көрсетеміз.

Теорема 1. Егер функциялары сызықтық біртектес теңдеудің шешімдері болса онда олардың сызықтық канбинациясы да теңдеудің шешімі болады.

Дәлелдеуі. Шарт бойынша .

Дәлелдеу керек болатынын. -операторы сызықтық болғандықтан , өйткені осыдан болады, демек, функциясы теңдеуінің шешімі.

Теорема 2. Егер функциясы коэффиценттері нақты болатын сызықтық бітектес теңдеудің комплекс шешімі болса, онда оның нақты бөлігі де және жорамал бөлігі де теңдеуінің шешімі болады.

Дәлелдеуі. Шарт бойынша L-сызықтық оператор болғандықтан . Ал комплекс сан нольге тең болу үшін оның нақты және жорамал бөлігі нольге тең болуы тиіс. Сондықтан және . Демек және функциялары да (2^/) теңдеуінің шешімі екен.

Айталық функциялар системасы (а,в) интервалында берілсін.

Анықтама 1. Егер барлығы бірдей нольге тең емес

сандары табылып,

(3)

тепе-теңдігі орындалса, онда функциялар системасы интервалында сызықты тәуелді дейді.

Егер (3) тепе-теңдік тек қана болғанда орындалса онда функциялары интервалында сызықты тәуелсіз деп аталады.

Бірнеше мысалдар келтірейік.

1. Айталық, бұл функциялар кез келген

интервалда сызықты тәуелді.

Шынында да болғанда көреміз.

2. Енді , , , , ,

функцияларын қарайық. Бұл функциялар системасы да сызықты

тәуелді болады. Егер деп алсақ, онда белгілі бір интервалында, бірақ кез келген болмауы мүмкін.

Осы мысалдан мынаны байқаймыз: Егер функциялар системасының бір бөлігі сызықты тәуелді болса, онда барлық система да сызықты тәуелді болады.

Екі функцияның сызықты тәуелділігі оның біреуі екіншісін бір нольге тең емес санға көбейткеннен шығатынын көрсетеді, яғни , . Сондай-ақ, функциялар системасы (a,b) аралықта сызықты тәуелді болса, онда оның ең кемінде біреуін қалғандарының сызықтық комбинациясы түрінде өрнектеуге болады.

Шынында да, сызықты тәуелді болғандықтан , . Анықтық үшін болсын. Онда , мұнда .

3. функциялар системасы сызықты тәуелсіз болады.Шынында да, айталық барлығы бірдей нольге тең емес сандар болса, онда

теңдігі (n-1) дәрежелі теңдеу болады. Ал оның түбірлерінің саны (n-1)-ден арта алмайтыны белгілі. Сондықтан,

өрнегі кез келген интервалдың барлық нүктесінде нольге айнала алмайды. Тепе-теңдік болғанда ғана орындалады. Ендеше, функциялар системасы анықтама бойынша сызықты тәуелсіз. Осы дәлелдеулерден кейбір функциялар системасының сызықты тәуелділігін немесе сызықты тәуелсіздігін тағайындауға мүмкіндік беретіндей белгіллерді қарастыру қажеттігі туғанын байқаймыз. Енді осы мәселеге кірісейік.

Егер функциялар системасы (n-1) рет дифференциалданатын болса, онда олардан төмендегі n ретті анықтауышты құруға болады:

Бұл анықтауыш x айнымалысының функциясы болатыны белгілі, демек . Енгізілген анықтауышты Вронский анықтауышы немесе вронскиан деп атайтын боламыз (И.Вронский поляк математигі).

Теорема 3. (сызықты тәуелділіктің қажетті шарты)

Егер функциялары (a,b) аралығында (n-1) рет дифференциалданатын сызықты тәуелді функциялары болса, онда осы функциялардан құрылған Вронский анықтауышы нольге тепе-тең болады, яғни, , .

Дәлелдеуі: Көрнекілік үшін n=3 жағдайын дәлелдейміз. Айталық функциялары (a,b)-да сызықты тәуелді болсын. Онда барлығы бірдей нольге тең емес сандары табылып

, болады. Анықтық үшін, . Онда , мұнда , .

Вронский анықтауышын құрамыз.

;

, , себебі соңғы екі қосылғыш анықтауыштардың екі бағанының элементтері пропорционал. Сондықтан, анықтауыштың белгілі қасиеті бойынша нольге тең болады. Теорема толығымен дәлелденді.

Керісінше пайымдау арқылы төмендегі теореманы өте жеңіл дәлелдеуге болады.

Теорема 4. Егер берілген n функция үшін құрылған Вронский анықтауышы кейбір (a,b) интервалында тепе-тең нөльге тең болмаса, онда осы интервалда берілген функциялар сызықты тәуелсіз болады.

Теорема 5. (шешімдердің сызықты тәуелсіздігінің қажетті шарты)

(a,b) интервалында сызықты тәуелсіз функциялар , коэффициенттері (a,b) интервалында үзіліссіз болатын

(4)

сызықтық біртектес дифференциалдық теңдеудің шешімдері болса, онда осы функциялар системасының Вронский анықтауышы

(a,b) интервалының ешбір нүктесінде нольге айнала алмайды.

Дәлелдеуі. Оңайлық үшін n=3 болсын. Айталық, нүктесінде деп кері жорыйық. Төменде қарағанда сызықтық біртектес алгебралық системаны құрайық:

(5)

Жоруымыз бойынша (5) системасының анықтауышы . Сондықтан (5) системаның ноль емес шешімі бар болады. Оны арқылы белгілейік. Мұнда осы үш санның ең кемінде біреуі нольден өзгеше. Енді мына

(6)

функцияны қарастырамыз. Бұл функция (4) теңдеудің шешімдерінің сызықтық комбинациясы болғандықтан ол берілген біртектес теңдеудің шешімі болып табылады және (6) шешім (5) теңдеулердің негізінде нольдік бастапқы шарттарды қанағаттандырады.

Яғни,

Мұндай бастапқы шартты, көрініп тұрғандай, (4.4) теңдеудің нольдік шешімі де қанағаттандырады. Онда шешімнің жалғыз болуы туралы теорема бойынша

,

болады, оның үстіне -дің кемінде біреуі нольден өзгеше. Ендеше функциялары (a,b) интервалында сызықты тәуелді. Бұл қорытынды теореманың шартына қайшы. Олай болса біздің жоруымыз қате, теореманың тұжырымы дұрыс деген сөз. Демек, Теорема 3 пен Теорема 4 ден салдар ретінде төмендегі теорема шығады.

Теорема 6. (a,b) аралығында коэффициенттері үзіліссіз болатын (4) сызықтық біртектес дифференциалдық теңдеудің дербес шешімдері , (a,b) интервалында сызықты тәуелсіз болу үшін шешімдердің системасының вронскианы нольден өзгеше болуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі. Қажеттілігі теорема 4 ден шығады. Жеткіліктілігі теорема 3 ден шығады. Себебі функциялары сызықты тәуелді болса, онда . Сондықтан -са функциялары сызықты тәуелді бола алмайды. Демек, олар сызықты тәуелсіз.

Теорема 7. D: a<x<b, , k=0,1,…,(n-1) облысында коэффициенттері k=0,1,…,n [a,b] сегментінде үзіліссіз болатын

(7)

сызықтық біртектес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі мына түрде

(8)

анықталады. Мұнда , (1) теңдеудің сызықты тәуелсіз дербес шешімдері, ал еркін тұрақтылар.

Дәлелдеуі. (8) функция (7) теңдеудің жалпы шешімі болуы үшін екі шартты қанағаттандыруы керек: Біріншісі параметрлерінің барлық мәндерінде (8) функция (7) теңдеудің шешімі болуы тиіс. Бұл талап орындалады. (IV-тарау, §1, Т.1 қараңыз).

(7) теңдеу үшін көрсетілген D облысында бар болу және жалғыздық теоремасының барлық шарттары орындалатыны белгілі. Екіншісі, кез келген берілген бастапқы

, , (9)

шартты (8) функция қанағаттандыратындай параметрлерінің мәндерінің бар болуын көрсету. Көрнекілік үшін n=3 деп аламыз. Егер функциясы (9) бастапқы шартты қанағаттандырсын деп талап қойсақ, онда мына

(10)

сызықтық алгебралық теңдеулер системасын аламыз. Бұл системаның анықтауышы (Вронскиан), себебі функциялары шарт бойынша (7) теңдеудің сызықты тәуелсіз шешімдері, олай болса (4.10) теңдеулер системасы , кез келген үшін бірмәнді түрде шешіледі. Бұл (8) функция (9) бастапқы шартты қанағаттандыратындай параметрлерінің мәндерін таңдап алатындай мүмкіндік бар екенін көрсетеді. Демек (7) теңдеудің жалпы шешімі оның сызықты тәуелсіз дербес шешімдерінің сызықтық комбинациясы болып табылады.

Анықтама 2 n ретті сызықтық біртектес дифференциалдық теңдеудің кез келген n сызықты тәуелсіз шешімдерінің жиынтығын оның фундаментальды шешімдер системасы дейміз.

Теорема 8. Коэффициенттері k=0,1,…,n үзіліссіз болатын әрбір сызықтық біртектес дифференциалдық теңдеудің фундаментальды шешімдер системасы бар болады (ол тіпті ақырсыз жиын құрайды).

Мысалға коэффициенттері k=0,1,…,n [a,b]-да үзіліссіз болатын

(11)

теңдеуін алайық.

Айталық,

, (12)

нүктесінде төмендегі тиісінше бастапқы шарттарды қанағаттандыратын (11) теңдеудің шешімдері болсын:

(4.12) шешімдердің нүктесіндегі Вронский анықтауышы

болады.

Демек, (12) шешімдер (11) теңдеудің фундаментальды шешімдер системасын құрайды. Осыдан бастапқы берілімдерді:

, , , сан алуан түрде алуға болатыны шығады.

Тек қана шарты орындалса жеткілікті.

Көріп отырғанымыздай, бастапқы шартты өзгерткен сайын фундаментальды шешімдер системасы да өзгеріп отырады. Ендеше олар ақырсыз жиын құрайды.

Теорема 9. Егер екі теңдеудің

(мұнда сегментінде үзіліссіз функциялар)

y (x),y (x),…,y (x) –функциялары ортақ фундаментальды шешімдер системасы болса, онда бұл теңдеулер үйлеседі, демек болады. Көрсетілген теореманың дәлелдемесін дифференциалдық теңдеулердің басқа толық курсынан табуға болады.

Сонымен, теорема 9 –дан шығатын қорытынды (7) түрдегі сызықтық біртектес теңдеу, оның фундаментальды шешімдер системасымен толық анықталатындығы, демек коэффициенттерін фундаментальды шешімдер системасының көмегімен бір мәнді анықтауға болады.

Сол жағы анықтауыш арқылы өрнектелетін дифференциалдық теңдеуді қарастырайық:

(4.13)

мұнда у(х) ізделіп отырған функция, ал y (x),y (x),…,y (x) –берілген фундаментальды шешімдер системасы.

y (x),y (x),…,y (x) функциалары (13) теңдеудің шешімдері болатынын көру қиын емес. Өйткені y(x) функциясының орнына осы функциялардың әрқайсысын қойғанда анықтауыштың екі бағанының элементтері бірдей болады. Сондықтан анықтауыш нольге айналады.

Анықтауышты соңғы бағанының элементтері бойынша жіктегенде (13) теңдеуден төмендегі теңдеуді аламыз:

W(x)y (14)

Мұнда W(x)-y функциаларының Вронский анықтауышы. Ал

Анықтауыш W(x) , өйткені y фундаментальды шешімдер системасы. Ендеше (14) теңдеудің барлық мүшелерін W(x)-ке бөлу арқылы оны мына түрге келтіреміз:

y

Мұнда, жекелеп алғанда,

Егер n ретті анықтауышының элементтері дифференциалданатын a түріндегі функциялар болса, онда анықтауышының туындысы төмендегі формула бойынша анықталатынын дәлелдеуге болады:

Мұнда анықтауышынан нөмірі k-ға тең болатын жолды оның туындысымен ауыстырғандағы шыққан анықтауышқа тең.

Мысалға функцияларының Вронский анықтауышы үшін мына теңдік

орындалатынын көреміз. Осы айтылғанның негізінде

теңдігін тексеру қиын емес. Демек,

P

Соңғы теңдеуді x бойынша x -ден x-ке дейін интегралдау арқылы

W(x)=W( )e формуласын аламыз. Бұл формуланы Остраградский-Лиувилль формуласы деп атайды.

Шешімдері болатынын екінші ретті сызықтық біртектес теңдеуді құр.

Берілген функциялар сызықты тәуелсіз екендері белгілі. Жоғарыдағы айтылғандарға сәйкес іздеп отырған теңдеуіміз мына түрде болады:

Осыдан ,

Бұл функциялар x=0 нүктесінде үзіліске ұшырайды. Сондықтан осы функциялардың Якобианы , x=0 нүктесінде нөльге айналады, демек x=0 нүктесінде сызықты тәуелсіз шешімдердің қажетті шарты орындалмайды.

Теорема 10. Егер (7) теңдеуінің дербес шешімі болса, онда u айнымалысын (*) формуласы бойынша енгізу арқылы сызықтық біртектес теңдеудің ретін бірге кемітуге болады және шыққан теңдеу де сызықтық болады.

Дәлелдеуі

функциясының төмендегі туындыларын табамыз.

------------------------------------

=

Осы туындылардың өрнектерін (4.7) теңдеуге апарып қойып, төмендегі теңдеуді аламыз.

Шарт бойынша, шешім. Сондықтан Онда соңғы теңдеу төмендегі түрге келеді.

Мұнда k=1,2,…,(n-1).

Теорема дәлелденді.

Мысал-1. теңдеуінің жалпы шешімін тап.

функциясы берілген теңдеудің дербес шешімі болады. (Тексеріп көріңдер).

Берілген теңдеудің ретін кеміту үшін формуласы бойынша u айнымалысын енгіземіз. Осы функцияның туындыларын тауып, берілген теңдеуге апарып қоямыз:

·

Осыдан

lnu +3ln|x|=0; u= (бір шешім жеткілікті);

y₂=x =x·(- )=- (бір шешім жеткілікті);

y₁=x, y = - функциялары сызықты тәуелсіз.

(тұрақты емес).

Онда берілген теңдеудің жалпы шешімі

болады.

c₁ және c₂ еркін тұрақтылар.

Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар:

1 Жоғарғы ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

2 Сызықтық біртектес теңдеулер

3 Сызықтық дифференциалдық оператор

4 Сызықтық тәуелді және сызықтық тәуелсіз функциялар жүйесі

5 Вронский анықтауышы

6 Сызықтық біртектес дифференциялдық теңдеудің жалпы шешімінің құрылымы. Лиувилл формуласы

7 Тұрақты коэффициентті сызықтық біртектес дифференциалдық теңдеулер

Қолданылған әдебиеттер:

1. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1985

2. Қалиев С.Қ., Искакова М.Т. Дифференциалдық теңдеулер және варияциялық есептеу негіздері, Семей – 2005

3. Филлипов А.Ф. Сборник задач по обыкновенные дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1984

4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - Москва.: Изд-во МГУ, 1984.

5. Қадыкенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулердің есептері мен жаттығулары Алматы: Қазақ университеті, 2002

ДӘРІС 15

Дәріс сабақтың құрылымы:

1 Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі

2 Сызықтық біртектес дифференцмалдық теңдеулердің қалыпты жүйесі

3 Сызықтық біртектес емес дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесі

Дәріс сабақтың мазмұны:

Жалпы ұғымдар мен анықтамалар

Анықтама 1. Мына түрдегі

(1)

системаны жай дифференциалдық теңдеулер системасы деп атайды.

Мұнда функциялары белгілі, ал белгісіз функциялар. сандарының ең үлкенін (1) системаның реті деп атайды. Мысалға бірінші ретті системаға тек қана х-айнымалысы функциялары және олардың бірінші ретті туындылары: кіреді, ал екінші ретті системаға тағы да екінші ретті туындылары кіруге тиіс.

Анықтама 2. Белгілі бір I аралықта анықталған функцияларының системаға кіретін туындыларының барлығы бар болса, және көрсетілген функциялар жиынтығы (1) системаны қанағаттандыратын болса, онда осы функциялар жиынтығын (1) системаның I аралығындағы шешімі деп атайды.

Өте көп физикалық процесстер дифференциалдық теңдеулер системасымен сипаттталатыны белгілі. Дифференциалдық теңдеулер системасын қарапайым түрде жазу үшін векторлық белгілеулерді пайдаланамыз.

Мысалға, функциялар жиынтығын төмендегідей белгілейміз:

Мұнда -скаляр аргумент х-тің векторлық функциясы деп аталады.

Векторлық функцияның туындылары:

түрінде анықталатыны белгілі.

(2)

түрдегі бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер системасын векторлық түрде

(23)

жазылуын аламыз.

Дифференциалдық теңдеулер системасының ішінде (3) түрдегі системаның орны ерекше. Өйткені (1) түрдегі система әрқашанда қосымша айнымалылар енгізу арқылы дифференциалдық теңдеудің толық курстарынан табуға болады) (3) түрдегі системаға келтіріледі. Әрине, бұл жағдайда системаның теңдеулер саны көбейетіні анық.

Егер (2) системада теңдеулер саны белгісіз функциялар санына тең болса (n=l) және системаны құрайтын теңдеулер туындыларға қатысты шешілсе, онда (2) системаны мына түрде

(4)

немесе векторлық түрде

( )

жазуға болады.

Анықтама 3. (4) немесе ( ) түрдегі дифференциалдық теңдеулер системасын қалыпты жай дифференциалдық теңдеулер системасы дейді. Кейбір жағдайда белгісіз функциялар санын қалыпты системаның реті деп те атайды.

Бұдан былайғы жерде дифференциалдық теңдеулердің қалыпты системасын қарастырамыз. Оны векторлық түрде, яғни ( ) түрде демек түрде жазамыз. Мұнда

Көріп отырғанымыздай жоғары индекстер вектордың координаталарының нөмерлерін көрсететін болады. функциясы облысында анықталған деп есептейміз. Мұнда өлшемді айнымалыларының евклид кеңістігі. Егер мына шарттар :

1). векторлық функциясы I аралығында үзілісссіз дифференциалданатын болса

2).

3). орындалатын болса, онда функциясы ( ) системасының шешімі деп аталады.

Коши есебінің бар және жалғыз болуы туралы теорема

Айталық,

(5)

дифференциалдық теңдеулердің қалыпты системасы берілсін.

(6)

шартын қанағаттандыратындай (5) системаның шешімін табуды (5) система үшін тұжырымдалған Коши есебі дейді.

(6) шартты бастапқы шарт деп атайды. шамаларын бастапқы берілімдер дейді. Бұдан былай (5)-(6) Коши есебі деп айтатын боламыз.

(5)- (6) Коши есебінің

(7)

интегралдық теңдеуге эквивалентті болатынын еске салайық.

(Бұл тұжырым скаляр функция үшін дәлелденген).

Теорема 1 (Пикар).

Егер функциясы R: тұйық цилиндрінде үзіліссіз функция болса және осы R цилиндрінде Липшиц шарты, демек орындалса, онда қандайда бір нүктесінің төңірегі да (2.5)–(2.6) Коши есебінің жалғыз ғана шешімі бар болады.

Мұнда (ескерту: ; векторының модулін анықтайды).

Теореманың дәлелдеуі f(x,y) скаляр функция болғандағы Пикар теоремасының дәлелдеу жолы арқылы іске асады. Ондағы y(x) скаляр функциясын -векторлық функциямен ауыстырса болғаны.