Тема 2: Математические модели и методы в системном анализе

1. Задачи и возможности моделирования.

1. О способах использования математической модели для исследования процессов.

2. Особенности моделирования процессов с учетом случайных факторов.

3. Модель. Моделирование. Изоморфизм. Гомоморфизм.

4. Классификация моделей.

5. Аспекты рассмотрения математических моделей.

6. Требования, предъявляемые к математическим моделям.

1. Задачи и возможности моделирования

Одной из важных проблем современной науки является разработка и внедрение в практику методов ис­следования динамики функционирования сложных систем, к которым относятся крупные производственные комплексы с автоматизированным управлением, вычис­лительные комплексы, предназначенные для обработки информации и т.д.

При проектировании, создании и эксплуатации сложных систем возникают задами, требующие опреде­ления количественных и качественных закономернос­тей, свойственных рассматриваемым системам.

Имеющиеся в арсенале прикладной математики классические методы не всегда пригодны для иссле­дования сложных систем. Поэтому в последние годы интенсивно развиваются новые методы, связанные о теорией специальных видов случайных процессов, те­орией массового обслуживания, распознаванием образов (автоматической классификацией), динамикой средних, алгоритмическим описанием процессов функционирова­ния сложных систем и т.д.

Использование математических методов и моделей во многих случаях при достаточно общих предположе­ниях о характере рассматриваемых процессов позволя­ет получить уравнения относительно характеристик процесса и провести весьма общее его исследование.

Наряду с этими методами, которые мы в дальней­шем будем условно называть аналитическими, широ­кое распространение получают разнообразные виды мо­делирования, в том числе метод статистического ими­тационного моделирования, реализуемый на ЭВМ.

Сущность статистического моделирования состо­ит в построении для исследуемого процесса соот­ветствующего моделирующего алгоритма, имитирующего при помойки операций машины поведение элементов сложной системы и взаимодействие между ними с учё­том случайных возмущающих факторов.

Метод статистического моделирования позволяет решать весьма сложные задачи и обладает существенны­ми преимуществами перед аналитическими методами и другими видами моделирования.

Основным его преимуществом является возможность решения задач исключительный сложности: исследуемая система может одновременно содержать элементы непре­рывного и дискретного действия, быть подверженной влиянию многочисленных случайных факторов сложной природы, описываться весьма громоздкими нелинейными соотношениями и так далее.

[ограничения быстродействие ЭВМ, размерность задачи]

Под процессом (процессом функционирования не­которой системы) в дальнейшем будем понимать после­довательную смену состояний системы во времени.

Любое количественное изучение процесса (а тем более повторение математической модели для него) возможно лишь в том случае, если определены те величины, которые характеризуют процесс с коли­чественной точки зрения.

Характеристики процесса можно также интерпре­тировать как координаты точки в n - мерном прост­ранстве. Каждому мгновенному состоянию процесса соответствует определенная точка.

Величины, характеризующие свойства системы и ее элементов, будем называть параметрами системы, а величины, определяющие начальное состояние систе­мы, - начальными условиями.

На практике широкое распространение получили систем, процессы функционирования которых сопро­вождаются переработкой информации, поступающей извне или возникающей внутри системы. Для описания такого рода систем (точнее, процессов их функционирования) необходимо также указывать исходную ин­формацию, определяющую собой течение процесса.

Математическая модель реального процесса есть некоторый математический объект, поставленный в соответствие данному реальному процессу.

Под математической моделью реального процесса мы будем понимать совокупность отношений (например, фор­мул, уравнений, неравенств, логических условий, опе­раторов и т.д.), которые связывают характеристики процесса с параметрами соответствующей системы, ис­ходной информацией и начальными условиями.

Здесь отнюдь не предполагается, что математическая модель состоит только из соотношений, выражающих характеристики процесса в виде явных функ­ций от параметров системы, времени, исходной информации и начальных условий. В общем случае этого может и не быть. Существенные свойством математической модели является то, что при совместном рас­смотрении составлявших её соотношений характеристи­ки процесса однозначно (для детерминированных моде­лей) определяются через параметры системы, исход­ную информацию и соответствующие начальные условия.

Па практике нередко приходится рассматривать так называемые случайные процессы, характеристики которых являются случайными функциями времени.

Как известно, случайные процессы могут быть описаны соответствующими распределениями вероят­ностей, заданными на множестве реализаций. Реализациями являются неслучайные, вполне детерминиро­ванные процессы, в виде которых проявляется случайный процесс при каждом отдельном эксперименте, проводимом над случайным процессом.

Характеристики процесса могут быть случайными функциями времени в силу различных причин. Имеют место ситуации, когда сам изучаемый процесс, по существу, является неслучайным, вполне детерминированным, в то время как начальные условия оказыва­ются случайными величинами. Другие распространённые ситуации характеры тем, что случайными величинами оказываются параметры соответствующей системы.

Случайный характер протекания процесса чаще всего объясняется действием на элементы системы случайных возмущений, возникающих внутри системы или вне ее, или случайным характером исходной информации, перерабатываемой системой в процессе функционирования.

При помощи математической модели однозначно оп­ределяются распределения вероятностей для характеристик процесса, если заданы распределения вероятнос­тей для начальных условий, параметров системы и возмущений, действующих на её элементы, а также для исходной информации.

Для построения математической модели процесса можно пользоваться несколькими различными (в общем случае неравноценными) наборами параметров системы. Выбор удачного набора параметров, как правило, за­висит от опыта исследователя.

Учет большого количества второстепенных деталей оказывается практически нецелесообразным. В большинстве случаев при решении прикладных задач достаточно учитывать лишь основные стороны исследуемого процесса.

Математическая модель может появиться только как следствие четкого формального описания рассмат­риваемого процесса с требуемой степенью приближения к действительности, только в результате формализации процесса. Однако на этом исследование не заканчива­ется. Дальнейшим важным шагом является использование математической модели для получения общих закономер­ностей, связанных с исследуемым процессом, или конк­ретных числовых зависимостей между фигурирующими ве­личинами.