Тема 4. Перетворення проекцій. Метод обертання

4.4. Перетворення проекцій точки

Суть методу виражається у тому, що при незмінному положенні площин проекцій здійснюється обертання геометричних фігур на необхідний кут. Основні елементи апарата обертання: об’єкт обертання (точка А); вісь обертання (і); площина, у якій обертається об’єкт (S); центр обертання (О); радіус обертання (R). При розміщенні oci i^П₁ точка А буде переміщуватися у площині S (рис. а, б). Її проекція на П₁ проеціюється у вигляді кола l(/₁), а на П₂ - у вигляді прямої ОА(О₂А₂). Аналогічно визначають точку В(В₁, В₂) при і^П₂ з обертанням на величину кута g(рис. в).

а

б

в

Тема 4. Перетворення проекцій. Метод обертання

4.5. Перетворення проекцій прямої.

Вибираємо на прямій а (п. а, б, в) дві точки А та В, обертаємо їх навколо oci і^П₁, iºА₁ (п. а, б) до положення точки В^/(B^/₁). При цьому проекція точки В(В₂) обертається у площині S(S₂)^П₂ по колу, яке на П₂ проеціюється у вигляді прямої В₂В^/₂, а сама пряма а(а₂) займає положення а'₂  П₂, тобто проеціюється на П₂ у натуральну величину під кутом a. Аналогічно визначаємо натуральні величини прямої а та кута b при обертанні навколо oci і^П₂, іºВ₂ (п. в).

а

б

в

Тема 4. Перетворення проекцій. Метод обертання

4.6. Перетворення проекцій площини

Визначаємо два основні положення площини: проеціююче і паралельне до однієї з площин проекцій. Так, наприклад, треба провести проеціювання трикутника Q(АВС) П₂. Для цього проводимо у площині горизонталь h(h₁, h₂), обертаємо площину разом з горизонталлю до положення h₁  П₂ і визначаємо її проекцію A₂¹С₂В₂¹, яка вироджується у пряму. Якщо ще раз обернути цю проекцію (слід площини Q) паралельно П₁, то нова горизонтальна проекція трикутника АВС(A₁²В₁¹С₁¹) буде мати натуральну величину (НВ). В обох випадках обертання вершини трикутника переміщуються відповідно у площинах (₁¹, ₂)П₂ і T(T₁¹, T₁²) П₁.

Тема 4. Перетворення проекцій. Метод плоскопаралельного переміщення

4.7. Перетворення проекцій прямої і площини

Даний метод є окремим випадком обертання навколо довільного центра для того, щоб нове зображення не збігалося із заданою проекцією. При переміщенні прямої з одночасним обертанням наприклад фронтальної проекції до положення b^/₂ºС^/₂D^/₂  Х₁₂, її горизонтальна проекція b₂ºC₂D₂ переміщується у паралельних площинах S₁ i S^/₁ до положення С₁D₁  П₁. При обертанні C^/₁D^/₁^П₂ пряма вироджується у точку. Аналогічно проводять перетворення проекцій площини S(АВС). При першому плоскопаралельному переміщенні вона проеціюється у пряму В₂'А₂'С₂', а при другому переміщенні - у натуральну величину А₁²B₁²С₁².

Тема 5. Метричні задачі

5.1. Визначення натуральних величин відстаней та кутів

Приклад. Визначити величину кута ° між перетинними прямими a, b методом обертання.

Алгоритм розв’язання: 1. Приймаємо для розв’язання задачі метод обертання навколо горизонталі h(h₁, h₂) точки перетину прямих А(А₁, А₂) до сполучення з площиною Р(Р₂)||П₁. Для цього визначаємо положення центра обертання О(О₁, О₂) та натуральну величину радіуса звороту R=А'₁О₁ для точки О₁A^/₁ за допомогою методу трикутника.

2. Змінюємо положення точки А^/₁ зворотом прямої О₁А^/₁ до перетину зі слідом площини (₁).

3. Проводимо від точки А'₁А прямі a₁а та b₁b, між якими кут °1₁А2₁ відображається у натуральну величину, тому що Р₂||П₁.