2.2. Диференціальне числення функції однієї змінної

Похідною функції в точці називається границя відношення змінення функції до змінення аргументу, коли змінення аргументу прямує до нуля:

.

(2.2.1)

Загальний зміст похідної. Похідна є швидкість зміни функції в точці , тобто швидкість, з якою змінюється функція при переході через точку.

Геометричний зміст похідної. Похідна в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої в точці дотику, тобто кутовому коефіцієнту дотичної.

Функція, що має похідну, називається диференційованою.

Вихідним моментом в оволодінні технікою диференціювання є засвоєння таблиці похідних і основних правил диференціювання:

Таблиця похідних

Основні правила диференціювання

.

Приклад 2.2.1. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Застосуємо правило диференціювання добутку і скористаємося таблицею похідних.

.

Якщо , а є функцією незалежної змінної : , то називається складною функцією змінної . Змінна при цьому називається проміжною. Похідна по функції має вигляд . Аналогічне правило має місце і у випадку, коли складна функція задається ланцюжком, що містить три і більше ланки. Наприклад, якщо , то . Практичну реалізацію цього правила покажемо на прикладах.

Приклад 2.2.2. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Спочатку застосуємо формулу диференціювання показникової функції , де , потім застосуємо формулу диференціювання степеневої функції , де , далі - формулу диференціювання тригонометричної функції , де і, нарешті, диференціюємо . У детальному записі це має вигляд:

Приклад 2.2.3. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Застосуємо правило диференціювання складної функції і одержимо

.

2.3. Застосування похідних для дослідження функцій

Поняття похідної можна застосовувати для аналітичного дослідження властивостей функції і побудови її графіка.

Областю визначення функції називають множину значень аргументу , при яких функція визначена.

Функція називається парною, якщо виконується умова . При цьому графік функції симетричний щодо осі . Функція називається непарною, якщо виконується умова . При цьому графік функції центральне симетричний відносно початку координат. Якщо функція не є ні парною, ні непарною, то ця функція загального виду.

Функція називається зростаючою на деякому інтервалі, якщо для будь-яких двох чисел і із цього інтервалу з нерівності слідує нерівність .

Функція називається спадною на деякому інтервалі, якщо для будь-яких двох чисел і із цього інтервалу з нерівності слідує нерівність .

Зростаючі або спадні функції називаються монотонними.

Ознаки зростання і спадання функцій:

• Якщо у всіх точках деякого інтервалу похідна , то функція на цьому інтервалі зростає.

• Якщо у всіх точках деякого інтервалу похідна , то функція на цьому інтервалі спадає.

Приклад 2.3.1. Знайти інтервали монотонності функції

.

Розв’язання. Областю визначення даної функції є вся вісь . Знаходимо похідну . Щоб знайти інтервали зростання функції, розв’яжемо нерівність ; щоб знайти інтервали спадання функції, розв’яжемо нерівність . Корінь квадратного тричлена рівні 1 і 2, тому розподіл знаків квадратного тричлена має вигляд

+ - +

1 2

Отже, на інтервалах і функція зростає, а на інтервалі функція спадає.

Необхідна ознака екстремуму: якщо точка є точкою екстремуму, то в цій точці похідна дорівнює нулю або не існує.

Точки, у яких перша похідна дорівнює нулю, або у яких вона не існує, але функція зберігає неперервність, називаються критичними точками першого роду.

Достатня ознака екстремуму: якщо при переході через критичну точку похідна змінює знак, то критична точка є точкою екстремуму. Це точка максимуму, якщо похідна змінює знак із плюса на мінус, і точка мінімуму, якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс.

Приклад 2.3.2. Дослідити на екстремум функцію .

Розв’язання.

1. Область визначення .

2. Знайдемо похідну даної функції .

3. Прирівняємо похідну до нуля і, розв’язавши це рівняння, знайдемо критичні точки функції , .

4. Досліджуємо критичні точки за достатньою ознакою екстремуму. Це зручно робити в таблиці 2.3.1:

Таблиця 2.3.1 – Дослідження функції

		0		2
		0	-	0	-

Для знаходження знака похідної досить підставити в неї будь-яке значення з розглянутого інтервалу. Так, досліджуючи інтервал , можна взяти, наприклад, точку і підставити це значення в похідну: . Дослідивши, зазначеним чином знаки похідної в інтервалах , зауважуємо, що похідна змінює знак при переході через точку 0 (з “+” на “-”) і при переході через точку 2 (з “–” на “+”). Тобто, – точка максимуму, а – точка мінімуму. Значення функції в цих точках рівні , .

Підкреслимо, що, досліджуючи функцію на екстремум, ми одночасно знаходимо і інтервали монотонності функції.