Собственные векторы и с обственные значения матрицы.

Определение. Вектор называется собственным вектором квадратной матрицы , если существует такое число λ, что выполняется условие . (3.1.6)

Число λ называется собственным значением (числом) матрицы, соответствующим вектору Х.

Из определения следует, что при умножении матрицы А на вектор Х получается вектор, коллинеарный вектору Х.

Равенство (3.6) перепишем в матричной форме.

,

тогда равенство (3.1.6) переходит в систему линейных уравнений

или (3.1.7)

В матричной форме система (3.1.7) имеет вид .

Чтобы однородная система (3.1.7) (или матричное уравнение (3.1.6)) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель , то есть

(3.1.8)

Определитель представляет собой многочлен n-ой степени относительно λ. Он называется характеристическим многочленом матрицы А, а уравнение (3.1.8) характеристическим уравнением матрицы А.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение. Составим характеристическое уравнение

или

Находим собственные векторы (см. )

а) для собственного числа

Оба уравнения совпадают. Одно следует отбросить. Система имеет бесчисленное множество решений. Положив , получаем . Собственному значению соответствует собственные векторы .

б) Аналогично находится вторая совокупность собственных векторов .

В частности, это могут быть векторы и .

3.2 Система линейных уравнений.

Системы линейных уравнений представляют один из важнейших разделов линейной алгебры. Они являются одним из основных инструментов моделирования экономических процессов.

Цель - обобщение понятия системы линейных уравнений (в том числе, когда число уравнений m не совпадает с числом неизвестных n); знакомство с матричной формой записи системы линейных уравнений.

Задача - знакомство с различными способами решения систем (преимущества и недостатки каждого из способов). В результате изучения темы студент должен уметь ответить на вопросы:

а) совместна система или нет;

б) уметь решить любым способом, если она совместна.

3.2.1. Основные понятия и определения

3.2.2. Системы n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.

3.2.3. Метод Гаусса.

3.2.4. Системы m линейных уравнений с n переменными. Метод последовательного исключения неизвестных.

3.2.1 Основные понятия и определения.

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

a ₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+…+a_1jx_j+ …+a_1nx_n =b₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+a₂₃x₃+…+a_2jx_j+ …+a_2nx_n =b₂

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (3.2.1)

a_i1x₁+ a_i2x₂ +a_i3x₃+… +a­_ijx_j+…+a_inx_n =b_i

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a_m1x₁+a_m2x₂+a_m3x₃+…+a_mjx_j+…a_mnx_n =b_m

г де a­_ij – постоянные числа, называемые коэффициентами системы, b_i – постоянные числа, называемые свободными членами (i=1,m, j= ).

В краткой форме систему (3.2.1) можно записать в форме следующим образом: _n

∑ a­_ijx_j = b_i , (1≤i<m)

_j=1

Совокупность чисел (x₁₀, x₂₀, …x_no) называется решением системы (3.2.1), если после подстановки в каждое уравнение системы обращает его в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений.

Две системы называются равносильными (эквивалентными), если решение одной из них является решением другой и наоборот. С системой (3.2.1) можно проводить элементарные преобразования, подобные элементарным преобразованиям матриц (сложение уравнений, перестановку уравнений, умножение обеих частей уравнений на некоторое число), получая при этом системы эквивалентные системе (3.2.1).

Составим матрицу А=(а_ij)_mxn из коэффициентов системы (3.21)

а₁₁ а₁₂… а_1n а₂₁ а₂₂… а_{2 n} - - - - - - - - -

A = а_i1 a_i2 …. a_in

- - - - - - - - -

a_m1a_m2 …a_{mn mxn}

и введем столбцевые матрицы из неизвестных и свободных членов

x₁ b₁

x₂ b₂

- -

Χ= - ; B= -

- -

x_{n nx1 ­}b_{n nx1}

Найдем произведение матриц АХ

а₁₁ а₁₂… а_1n x₁ а₁₁ x₁+ а₁₂ x₂+…+ а_1n x_n

а₂₁ а₂₂… а_{2 n} x₂ а₂₁ x₁+ а₂₂ x₂+…+ а_{2 n}x_n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

АХ= а_i1 a_i2 … a_in - = - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a_m1 a_m2 …a_mn x_n a_m1 x₁+ a_m2x₂+…+ a_mnx_n

П олучена столбцевая матрица, элементы которой совпадают с левыми частями системы (3.2.1). Причем эти элементы равны соответствующим элементам матрицы В. А это означает, что матрицы АХ и В так же равны, т.е.

(3.2.2)

Получена матричная запись системы (3.2.1) или матричное уравнение.

Если ввести векторы

a_1j b₁

a­_2j b₂ A_j= - B= -

- -

a_mj b_m

то систему (3.2.1) можно записать в векторной форме

_n

A₁x₁+A₂x₂+…+A_nx_n=∑ A_j­x_j = B

_j=1