Лекция 1. Элементы линейной алгебры.

1. Матрицы и определители. Основные понятия о матрицах.

Понятие матрицы и раздел математики, изучающий матрицы – матричная алгебра, имеет особо важное значение для экономистов, т.к. на использовании этого раздела построены многие экономические дисциплины: в частности «ЭММ и М», «Финансовая математика», «Эконометрика», «Оценка и анализ рисков».

Цель: освоение следующих вопросов:

1.Матрица – это прямоугольная таблица чисел, имеющая размерность (число строк и столбцов).

2.Квадратную матрицу можно связать с числом – ее определителем.

Задача: а) научиться вычислять определители 2-го и 3-го порядков;

б) уметь находить обратную матрицу и проверять правильность решения.

Определение. Матрицей размерности mxn называется прямоугольная таблица из элементов любой природы, имеющая m строк и n столбцов.

Элементами матрицы могут быть числа, буквы, функции, рисунки, любые знаки.

а₁₁ а₁₂ …. а_1n где i - номер строки, 1≤ i≤ m

А = а₂₁ а₂₂ …. а_2n = (a_ij)_mxn, j – номер столбца, 1≤ j≤ n

………………………

а_m1 a_m2 …. a_{mn m xn}

Если m=n, матрица называется квадратной.

Если размерность матрицы 1x n A=(a₁ a₂ … a_n)1_xn, матрица называется строчной или вектор-строка.

Если размерность mx1 , матрица называется столбцевой (вектор - столбец).

b₁

B = b₂

….

b_{n mx1}

Е сли все a_ij= 0, матрица называется нулевой: O = (о)_mxn

a_ij= 0, i≠j

Если m=n и матрица называется диагональной

a_ij≠0 , i=j

Например,

2 0 0

А= 0 1 0

0 0 6

Е сли в диагональной матрице элементами диагонали являются единицы, матрица называется единичной и обозначается

1 0 …. 0

Е =0 1 …. 0

………………….

0 0 …. 1

Матрицы А=(a_ij)_mxn и B=(b_ij)_mxn называются равными, если они имеют одинаковую размерность и совпадают поэлементно.

A=B a_ij=b_ij

Операции над матрицами.

Над матрицами можно проводить все линейные операции, известные из курса алгебры. Причём, эти операции подчиняются всем законам линейной алгебры.

1. Сложение матриц.

Пусть А=(a_ij)_mxn и B=(b_ij)_mxn матрицы одинаковой размерности. Суммой матриц А и В называется матрица С той же размерности.

C = A+B=( a_ij +b_ij)_mxn

2. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А=(a_ij) на число k называется матрица

B=kА=(ka_ij)_mxn

Эти операции подчиняются следующим свойствам:

1. А+В=В+А – переместительность.

2. А+В+С=(А+В)+С=А+(В+С) – сочетательность

3. А+0=А

4. kA=Ak

5. k(A+B)=kA+kB – распределительность относительно числового множителя.

6. (k₁+k₂)A=k₁A+k₂A – распределительность относительно матричного множителя.

7. k₁Ak₂=(k₁k₂)a=k₁(Ak₂)