3.2.2 Системы n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.

Пусть число уравнений совпадает с число переменных m=n. В этом случае матрица А=(а_ij)_nxn является квадратной. Назовем определитель этой матрицы ∆ =│А│ определителем системы.

Предположим, что матрица А невырожденная, т.е. её определитель │А│≠0. В этом случае существует обратная матица А^-1.

Умножим обе части матичного уравнения (3.2.2) слева на матрицу А^-1. Получаем А^-1АХ= А^-1В, но А^-1А=Е, следовательно, ЕХ= А^-1В. Но ЕХ=Е (свойства матриц). И сказанного получаем решение матричного уравнения

Х= А^-1В (3.2.3)

Т

Пусть ∆-определитель системы, а ∆_j – определитель, получаемый из определителя системы заменой j-го столбца столбцом из свободных членов. Тогда, если ∆≠0, система n уравнений с n переменными имеет единственное решение, определяемое по формулам X_j = (3.2.4)

(0(

еорема Крамера (правило Крамера)

Формулы (3.4) называются формулами Крамера.

Доказательство

Подставим обратную матрицу А^-1 = Ã - матричное уравнение (3.2.3), записав все матрицы в развернутой форме

x₁ A₁₁ A₂₁ ... A_n1 b₁

x₂ A₁₂ A₂₂ …A_n2 b₂

- = - - - - - - - _(3.2.5)

- - - - - - - -

x_n A_1n A_2n …A_nn b_n

учитывая, что │А│= ∆, после умножения матриц получаем:

x₁ b₁ A₁₁ + b₂ A₂₁ + … + b_n A_n1

x₂ b₁ A₁₂ + b₂ A₂₂ + … + b_n A_n2

- = - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - -

x_n b_n A_1n + b_n A_2n+ …. + b_n A_nn

о тсюда следует, что для любого j=1,n

x_j= b₁A_1j+ b₂A_2j+…+ b_nA_nn) (3.2.6)

Н о на основании свойства определителей выражение, стоящее в скобках равенства (3.2.5) представляет собой определитель ∆_j для j=1,n. Следовательно, X_j= . Теорема Крамера доказана.

Пример. Решить систему уравнений

х₁ + 2х₂ + х₃ = 8

-2х₁ + 3х₂ -3х₃ = -5

3х₁- 4х₂ + 5х₃=10

а) матричным способом; б) по формулам Крамера.

Решение.

а ) введем матрицы

1 2 1 х₁ 8

А= -2 3 -3 ; Х= х₂ ; В= -5

3 -4 5 х₃ 10

В матричной форме решение имеет вид Х=А^-1В. Найдем обратную матрицу в соответствии с алгоритмом:

1 .Определитель матрицы А

1 2 1

∆= -2 3 -3 = 4 ≠0

3 -4 5

Обратная матрица существует.

2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений определителя матрицы.

3 -3 -2 -3

А₁₁= =15-12=3; А₁₂= = 1, и т.д. А₁₃= - 1

-4 5 3 5

А₂₁= -14 А₂₂= 2 А₂₃=10

А₃₁= -9 А₃₂= 1 А₃₃= 7

3.Присоединённая матрица имеет вид

3 -14 -9

Ã= 1 2 1

-1 10 7

4. А^-1= * Ã

Подставим А^-1 в (3.2.5)

Х ₁ 3 -14 -9 8 24+70-90 1

Х₂ = 1 2 1 5 = 8 -10+ 10 = 2

Х₃ -1 10 7 10 -8-50+70 3

Решение системы: х₁=1; х₂=2; х₃=3.

б) Определитель системы ∆=5

Находим определители ∆₁, ∆₂, ∆₃.

8 2 1 1 8 1 1 2 8

∆₁= -5 3 -3 =4; ∆₂= -2 -5 -3 =8; ∆₃= -2 3 -5 =12

10 4 5 3 10 5 3 -4 10

По формулам Крамера (3.2.4) определяем

х₁= ; х₂ = ; х₃ = = = 3

В конце целесообразно сделать проверку, подставив найденные значения Х_j в уравнения системы.

Решение систем матричным способом или по правилу Крамера имеет ряд недостатков:

1.Область применения этих способов ограничена условием m=n (число уравнений совпадает с числом неизвестных). В то же время решение практических задач (в экономике в том числе), как правило, приводит к необходимости решения систем, когда число неизвестных n достаточно велико, и m≠n.

2.При выполнении условия m=n матрица системы должна быть невырожденной (│А│=∆≠0).

3.Даже при выполнении условия 2-го условия (m=n, ∆≠0) вычисление определителей и отыскание обратной матрицы связаны с громоздкими вычислениями.