Элементы теории вероятностей

При вычислении вероятностей случайных событий часто приходится использовать формулы комбинаторики. Комбинаторными называются задачи, в которых требуется произвести подсчет всех составленных по некоторому правилу соединений из некоторого числа различных предметов (элементов).

Различают три типа соединений:

1. Перестановки - соединения, отличающиеся только порядком следования элементов при их неизменном числе. Общее число перестановок из n элементов обозначается P_n. Это число равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

P_n= !

Символ n ! (читается: эн факториал) есть сокращенное обозначение произведения

Пример 1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 без повторения цифр?

Решение: так как искомые соединения содержат все по четыре данных элемента и отличаются друг от друга только порядком следования элементов, то это перестановки, общее число которых:

P₄=4!= (Для данного примера можно перебрать все эти варианты:

1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, и т.д.)

Ответ: 24

2. Размещения - соединения элементов, которые отличаются или порядком элементов в соединении, или самими элементами. Общее число размещений из n элементов по m элементов обозначается , где и вычисляется по формуле

Пример 2. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 без повторения цифр?

Решение: так как искомые соединения содержат по два элемента из данных четырех элементов и отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или самими элементами, то это размещения, общее число которых: (Для данного примера перечислим все возможные варианты: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43)

Ответ:12

3. Сочетания - соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений в сочетаниях порядок следования элементов не имеет значения. Общее число сочетаний из n элементов по m элементов обозначается , где и вычисляется по формуле:

Пример 3. На 6 сотрудников выделены 3 одинаковые путевки в дом отдыха. Сколькими способами их можно распределить?

Решение: так как путевки одинаковые, то число способов их распределения равно числу сочетаний из 6 элементов по 3 элемента.

Ответ: 20

Теория вероятностей - математическая наука, которая изучает закономерность в случайных событиях. К основным понятиям теории вероятностей относятся испытания и события.

Под вероятностью случайного события понимают численную меру объективной возможности появления этого события.

Вероятностью Р(А) случайного события А называется отношение числа m исходов, благоприятствующих событию А к числу n-всех элементарных исходов. Формула называется классическим определением вероятности.

Для невозможного события P(V)=0 , для достоверного события P(U)=1 . Отсюда вероятность случайного события

Пример 4. Из 20 лотерейных билетов 3 выигрышных. Какова вероятность того, что из двух наугад взятых билетов оба выигрышные.

Решение: Из 20 билетов выбрать 2 можно

способами,

а благоприятствующих исходов

Тогда

Ответ:

Пример 5. В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

Решение:

Событие А – извлеченные детали окрашены

n - число возможных исходов

,

m - число благоприятствующих исходов

,

Тогда

Ответ:

Пример 6. В урне 15 красных и 5 синих шаров. Вынули 4 шара. Какова вероятность, что два вынутых шара красные, а два синие?

Решение:

число возможных исходов n=

Два красных шара могут быть выбраны способами, а два синих способами.

Тогда благоприятствующих исходов

Искомая вероятность

Ответ:

Пример 7. Карточка «Спортлото» содержит 45 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что верно будут угаданы 5 чисел?

Решение: ,где

, а

где -выбраны 5 из 6 участвующих в тираже чисел,

-названо одно из 39 невыигрышных чисел (39=45-6)

Ответ: