Тема 2. Дифференциальное и интегральное исчисления

Теория пределов. Производная, ее вычисление. Неопределенный и определенный интегралы. Методы вычисления. Приложения определенного интервала в геометрии

В результате изучения темы студент должен:

знать:

• определение предела функции;

• теоремы о пределах ;

• определение производной;

• физический и геометрический смысл производной;

• правила дифференцирования;

• символику и определения интегрального исчисления;

• таблицу простейших интервалов;

• свойства определенного и неопределенного интегралов;

• формулу Ньютона-Лейбница;

• методы интегрирования;

уметь:

• вычислять пределы;

• вычислять производные функций;

• вычислять неопределенные и определенные интегралы методами подстановки и «по частям»;

• вычислять площади плоских фигур и объемы тел вращения.

Рекомендуемая литература:

Л.1 ч.1,2; Л.2 ; Л.3 ч1; Л.4; Л.6 .

Вопросы для самоконтроля:

1. Приведите пример функции, предел которой при х равен : 1) 0; 2)1; 3)

2. Приведите пример функции, не имеющей предела при

3. Всякая или непрерывная функция дифференцируема?

4. Всякая или дифференцируемая функция непрерывна?

5. Является ли функция первообразной для на промежутке: 1) ; 2) (0,1)?

6. При каких значениях x справедливы формулы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ?

7. Известно, что .Следует ли отсюда, что f(х)=0 на ?

8. Найти ошибку в рассуждениях:

= - (1+1)= -2,

но интегральная функция принимает только положительные значения.

Тема 3. Дифференциальные уравнения первого и второго порядков

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Понятие о дифференциальных уравнениях первого и второго порядка. Задача Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами.

В результате изучения темы студент должен:

знать:

• определение дифференциального уравнения;

• определение общего и частного решений дифференциальных уравнений, их геометрической интеграции;

• методы решения дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющими переменными, линейные) и второго порядка (простейшие; линейные однородные с постоянными коэффициентами);

уметь:

• решать несложные дифференциальные уравнения первого и второго порядков;

Рекомендуемая литература:

Л 1 ч.2, Л3 ч.1, Л4, Л6

Вопросы для самоконтроля:

1. Может ли дифференциальное уравнение иметь конечное число решений ?

2. Могут ли интегральные кривые дифференциального уравнения пересекаться ?

3. Является ли дифференциальное уравнение : 1) уравнением с разделяющимися переменными; 2) линейным уравнением ?

4. Должно ли дифференциальное уравнение второго порядка содержать : 1)вторую производную функции; 2) первую производную ; 3) искомую функцию; 4)независимую переменную в явном виде ?

5. Известно, что и являются решениями уравнения . Можно ли утверждать, что - множество всех решений данного уравнения?