1) Метод, основанный на правиле силлогизма (цепного заключения)
Необходимо доказать предложение: .
Находят такое предложение R,
что справедливы предложения:
и
.
Тогда по правилу силлогизма
.
2) Метод доказательства от противного
Этот метод основан на следующих равносильностях (3 формы метода):
а)
(то есть предполагают противное тому,
что следует доказать и получают
противоречие с условием).
б)
(предполагают
противное тому, что следует доказать и
используя условие выводят предложение,
являющееся отрицанием условия).
в)
(предполагая противное и используя
условие, получают два предложения,
отрицающие друг друга).
Примечание. Этот метод также называют методом приведения к абсурду.
3) Принцип обращения по разделению (полной дизъюнкции)
Пример 5. Рассмотрим три теоремы.
В любом треугольнике:
1) против большей стороны лежит больший угол
Если
,
то
:
;
2) против равных сторон лежат равные углы
Если
,
то
:
;
3) против меньшей стороны лежит меньший угол
Если
,
то
:
.
Доказать:
,
,
- теоремы.
Для доказательства применим принцип полной дизъюнкции:
Теорема. (Принцип полной дизъюнкции)
.
Тогда
.
По принципу полной дизъюнкции предложения , , являются теоремами.
5 Нахождению всех следствий из посылок
Пример 6.
Найдите все следствия из посылок:
1. «Если сумма цифр целого числа делится на 3, то это число делится на 3 или на 9».
2. «Если целое число делится на 9, то оно делится на 3».
Решение
Переведём задачу на язык АВ:
х: «Сумма цифр целого числа делится на 3»,
у: «Целое число делится на 3»,
z: «Целое число делится на 9».
Дано:
Найти:
-?
, где
1 способ (по определению логического следствия)
х |
у |
z |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0,1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0,1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0,1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
х |
у |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Формулы могут быть найдены с помощью СДНФ или СКНФ. Найдём, к примеру . Для нахождения воспользуемся алгоритмом построения СКНФ:
2 способ (по СКНФ)
1. Находим СКНФ
2. Логическими следствиями из данных посылок будут все совершенные дизъюнктивные одночлены (СДО), входящие в полученную СКНФ, а также всевозможные конъюнкции этих одночленов по два, три и т.д.
