2.2. Метод парных сравнений

Рассматриваемая модификация предназначена для определения структуры изучаемого объекта. Опишем метод парных сравнений (точнее модификацию по Т. Саати).

В данной модификации, как и в классическом варианте метода парных сравнений, производится сравнение изучаемых факторов между собой. Причем в данном методе факторы сравниваются попарно по отношению к их воздействию («весу», или «интенсивности») на общую для них характеристику. Пусть в конкретной задаче необходимо определить состав некоторого объекта. Причем пусть A1, A2, ...,An основные факторы, определяющие состав объекта. Тогда для определения структуры объекта заполняется матрица парных сравнений.

Таблица 1 – Матрица парных сравнений

	A1	A2	...	An
A1	1	a12	...	a1n
A2	a21	1	...	a2n
...	...	...	...	...
An	an1	an2	...	1

Если обозначить долю фактора Ai через w_i, то элемент матрицы a_ij=w_i/w_j.

Таким образом, в предлагаемом варианте применения метода парных сравнений, определяются не величины разностей значений факторов, а их отношение. При этом очевидно a_ij= 1/a_ji. Следовательно, матрица парных сравнений в данном случае является положительно определенной, обратносимметричной матрицей, имеющей ранг равный 1.

Работа экспертов состоит в том, что, производя попарное сравнение факторов A1, ... ,An эксперт заполняет таблицу парных сравнений. Важно понять, что если w₁, w₂, ..., w_n неизвестны заранее, то попарные сравнения элементов производятся с использованием субъективных суждений, численно оцениваемых по шкале, а затем решается проблема нахождения компонента w. В подобной постановке задачи решение проблемы состоит в отыскании вектора (w₁, w₂, ..., w_n). Существует несколько различных способов вычисления искомого вектора. Каждый из методов позволяет кроме непосредственного нахождения вектора отвечать еще на некоторые дополнительные вопросы. Подчеркнем, что эксперт сравнивая n факторов реально проводит не n (как это происходит при заполнении обычных анкет) сравнений, а n*(n-1)/2 сравнений. Но это еще не все. На самом деле (учитывая соотношение a_ij=a_iк* a_кj справедливое для всех значений индекса k) производится опосредованное сравнение факторов A_i и A_j через соответствующие сравнения этих факторов с фактором A_k. Принимая во внимание сделанное замечание можно утверждать, что в действительности эксперт производит значительно больше сравнений, чем даже показывает первая оценка равная n*(n-1)/2. Таким образом, каждая клетка матрицы парных сравнений реально содержит не одно число (результат непосредственного сравнения), а целый вектор (с учетом всех опосредованных сравнений через сравнения с другими факторами). Учет этих дополнительных сравнений позволяет значительно повысить надежность получаемых результатов, или позволяет значительно уменьшить количество необходимых экспертов. 

Один из основных методов отыскания вектора w основывается на одном из утверждений линейной алгебры. Очевидно, что искомый вектор является собственным вектором матрицы парных сравнений, соответствующим максимальному собственному числу (_max). В этом случае по одному из большого max, а затем достаточно решить  количества существующих алгоритмов отыскивается векторное уравнение A*w=_max*w. Здесь необходимо отметить следующее. Из линейной алгебры известно, что у положительно определенной, обратносимметричной матрицы, имеющей ранг равный 1, максимальное собственное число равно размерности этой матрицы (т.е. n). При проведении сравнений в реальной ситуации вычисленное максимальное собственное число _max будет отличаться от соответствующего собственного числа для идеальной матрицы. Это различие характеризует так называемую рассогласованность реальной матрицы. И, соответственно, характеризует уровень доверия к полученным результатам. Чем больше это отличие, тем меньше доверие. Таким образом, эта модификация метода парных сравнений содержит внутренние инструменты позволяющие определить качество обрабатываемых данных и степень доверия к ним. Эта особенность данной методики выгодно отличает его от большинства обычно применяемых при исследовании рынка методов.

Другой подход в определении вектора w состоит в следующем. Суммируются по строкам элементы матрицы парных сравнений (для каждого значения i вычисляется сумма a_i=a_i1+ a_i2+...+ a_in). Затем все a_i нормируются так, чтобы их сумма была равна 1. В результате получаем искомый вектор w. Таким образом w_i=a_i/(a₁+ a₂+...+ a_n). Этот способ нахождения вектора w, значительно проще в реализации, но он не позволяет определять качество исходных данных. Приведенное выше описание метода является разработкой собственно Т. Саати и его группы. При всех его достоинствах данная версия не лишена некоторых недостатков. На этих недостатках мы и остановимся. Как уже отмечалось, рассматриваемая версия метода парных сравнений, позволяет определить качество исходных данных. Причем Саати рекомендует при плохо согласованной матрице либо сменить экспертов, либо найти дополнительные данные, либо решать проблему другим методом. Эта возможность является серьезным достоинством данного метода, но на наш взгляд в некоторых случаях данное преимущество переходит в свою противоположность. В том случае, когда проблема не в экспертах, а в собственно объекте изучения. Рассогласованность матрицы парных сравнений может быть вызвана, по крайней мере двумя факторами: (а) личными качествами эксперта; (б) степенью неопределенности объекта оценки. Поэтому рассогласованность матрицы выступает как результат взаимодействия этих факторов. И, следовательно, игнорирование такой структуры причин рассогласования приводит к тому, что рекомендуемые мероприятия по повышению согласованности матрицы проводятся не только в ситуациях, когда большая рассогласованность является следствием низкой профессиональности эксперта, но и в случаях, когда подобная неоднозначность является неотъемлемой частью изучаемого объекта. В последнем случае необходимо изучать объект такой, какой он есть со всеми присущими ему неопределенностями. Для того чтобы выделить ту составляющую рассогласованности, которая определяется собственно экспертом, необходимо несколько изменить взгляд на объект и на ожидаемый результат обработки исходных данных. Прежде всего, необходимо признать, что объекту исследования присуща некоторая неопределенность. И, как следствие, ожидать однозначного результата было бы не разумно. Ответ может и должен быть сформулирован на языке вероятности, т.е. либо в виде доверительных интервалов, либо в виде вероятности реализации интересующего результата, либо в виде математического ожидания результата и его дисперсии и т.д.

Построить алгоритм обработки матрицы сравнений, представляющий результаты в необходимой форме, позволяет отмеченное выше свойство матрицы сравнений: каждый элемент матрицы является, по сути, целым вектором, составленным из различных сравнений (прямых и опосредованных) соответствующих факторов. Учитывая это свойство можно для каждого элемента матрицы сопоставить его среднее значение и его стандартное квадратичное отклонение (СКО). Далее пользуясь методами стохастического моделирования можно построить последовательности матриц сравнения, каждая из которых будет соответствовать одной из возможных реализаций отношений характерных для данного объекта в рамках его неоднозначности и компетентности оценивающих его экспертов. Определяя для каждой такой матрицы вектор w, получим достаточно большой набор векторов, представляющих возможные реализации структуры объекта в соответствии с его неоднозначностью и компетентностью оценивающих его экспертов. Воспринимая, построенный подобным образом, набор векторов, как статистическую выборку, можно получить необходимый результат в том виде, который необходим в конкретном случае. В частности легко можно получить средние значения компонент вектора w и значения их СКО.

Полученные таким образом значения СКО и являются следствием степени рассогласованности матрицы парных сравнений. Чем больше рассогласованность, тем больше значения СКО.

Казалось бы, что для того чтобы определить уровень рассогласованности не нужны подобные нагромождения, что можно обойтись способом, предложенным Т. Саати и описанным выше. Но все это нагромождение позволяет решить важную проблему, связанную с причинами возникновения этой самой рассогласованности. Дело в том, что, заполняя матрицу сравнений эксперт может заполнить ее только выше главной диагонали. Остальная ее часть рассчитывается с учетом обратной симметричности. Но если эксперт заполняет не только верхнюю, но и нижнюю часть матрицы, то появляется дополнительная информация, позволяющая оценить степень личной компетентности данного эксперта. Действительно, при сравнении фактора Ai с фактором Aj эксперт поставит оценку a_ij, а при сравнении фактора Aj с фактором Ai эксперт поставит оценку a_ji. При этом на взаимное соотношение этих оценок не влияет состояние рынка, а только профессионализм эксперта (в идеальном случае, как уже отмечалось, должно выполняться равенство a_ji=1/ a_ij). Таким образом, отклонение a_ji от 1/ a_ij является случайной величиной и ее СКО соответствует уровню профессионализма эксперта. Следовательно, учитывая свойства дисперсии, можно из оценок элементов матрицы сравнений убрать влияние непрофессионализма эксперта и в результате уменьшить СКО компонентов вектора w. В итоге вектор w, точнее средние значения его компонент и их СКО, будет соответствовать данному объекту (в частности рынку) и адекватно описывать его.

Для проведения субъективных парных сравнений Т. Саати была разработана шкала относительной важности. 

Таблица 2 – Шкала относительной важности

Интенсивность относительной важности	Определение	Объяснение
0	Несравнимы	Эксперт затрудняется в сравнении
1	Равная важность	Равный вклад двух видов деятельности в цель
3	Умеренное превосходство одного над другим	Опыт и суждения дают легкое превосходство одному виду деятельности над другим
5	Существенное или сильное превосходство	Опыт и суждения дают сильное превосходство одному виду деятельности над другим
7	Значительное превосходство	Одному из видов деятельности дается настолько сильное превосходство, что оно становится практически значительным
9	Очень сильное превосходство	Очевидность превосходства одного вида деятельности над другим подтверждается наиболее сильно
2,4,6,8	Промежуточные решения между двумя соседними суждениями	Применяются в компромиссном случае
Обратные величины приведенных выше чисел	Если при сравнении одного вида деятельности с другим получено одно из вышеуказанных чисел (например, 3), то при сравнении второго вида деятельности с первым получим обратную величину (т.е. 1/3)

Итак, учитывая степень неоднородности и неопределенности сложившегося рынка, можно быть уверенным, что, описанная выше новая модификация метода парных сравнений позволит получать корректные результаты при проведении рыночных исследований.

Выбор шкалы определялся следующими требованиями:

(а) Шкала должна давать возможность улавливать разницу в чувствах людей, когда они проводят сравнения, различать как можно больше оттенков чувств, которые имеют люди.

(б) Эксперт должен быть уверенным во всех градациях своих суждений одновременно.

Как показывают работы автора Т. Саати по сравнению этой шкалы с 28 другими шкалами, предложенными разными лицами, эта шкала и ее незначительные модификации лучше, чем все другие шкалы. 

Данный метод парных сравнений и данная шкала чрезвычайно хорошо приспособлены к особенностям обработки информации человеком. Но при этом данная шкала не является обязательной. Как видно из приведенного краткого описания данная модификация метода безразлична к обычно используемым типам шкал.

Второй шаг: синтез «локальных приоритетов». В каждой из матриц парных сравнений выполняем следующие действия: считаем среднее геометрическое каждой строки и нормализуем эти величины к единице, для чего делим каждое среднее геометрическое на сумму средних геометрических. Полученные нормализованные средние геометрические объявляем локальными приоритетами альтернатив, соответствующих строкам матриц. В результате получаем вектор локальных приоритетов для критериев и матрицу из локальных приоритетов, каждая строка которой соответствует одному возможному решению, а каждый столбец – одному критерию.

Третий шаг: проверка согласованности матриц парных сравнений.

Несогласованность МПС выражается в нарушении транзитивности отношения превосходства (если A>B и B>C, то должно быть A>C). Нарушение это может носить характер качественный (A>B, B>C, C>A; это возможно, поскольку альтернативы сравниваются попарно), а может – количественный. Количественная несогласованность связана с тем, что мы не просто говорим о превосходстве той или иной альтернативы, но пытаемся оценить это превосходство по некоторой шкале (слабое/среднее/сильное). Отсюда возможна ситуация: A>>B, B>>C, A>C.

Дело осложняется тем, что при сравнении необходимо оперировать качественными понятиями (сильный - слабый), а в МПС мы записываем их числовое обозначение. Причина несогласованности матрицы заключается в следующем. Вообще говоря, содержимое МПС определяется n числами – «истинными весами» альтернатив. В идеале матрица должна состоять из отношений этих n чисел. Но поскольку истинных весов мы не знаем, мы вынуждены выбрать для матрицы (n2-n)/2 различных значений (размер матрицы – n×n, но на главной диагонали стоят единицы, а левый нижний треугольник заполнен величинами, обратными по отношению к величинам из правого верхнего треугольника), которые будут служить некоторыми приближениями для отношений истинных весов. При построении матрицы парных сравнений обеспечивается ее обратная симметричность, но в матрице, построенной из отношений истинных весов, связи между элементами гораздо более многообразны, поскольку вес каждой альтернативы входит в (2n-1) элементов матрицы (все элементы одной строки и одного столбца).

В МАИ существует простая процедура, которая позволяет легко определить «оценку согласованности» МПС. Даются рекомендации о том, какую оценку можно считать хорошей, какую – приемлемой.

Для оценки согласованности используются оценка максимума λ_max , ее расчет производится путем суммирования столбца суждений, а затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца – на второю компоненту и т.д. Затем полученные числа суммируются. Чем ближе λ_max к n, тем более согласованным является представление в матрице M(n) суждений.

Отклонения от согласованности могут быть выражены величиной, которая называется индексом согласованности (ИС).

При оценивании величины порога несогласованности суждений для матриц размером от 1 до 15 методом имитационного моделирования получены оценки случайного индекса (СИ). СИ является индексом согласованности для сгенерированной случайным образом (по шкале от 1 до 9) положительной обратно симметричной матрицы. В таблице 3 приведены средние значения СИ для матриц с порядком от 1 до 15.

Таблица 3 – Индексы согласованности

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
СИ	0	0	0,58	0,9	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49	1,51	1,48	1,56	1,57	1,59

Отношение ИС к среднему СИ для матрицы суждений того же порядка Саати называет отношением согласованности (ОС):

Значение ОС ≤ 0,1 считается приемлемым порогом допустимой согласованности суждений. Если значение ОС > 0,1, данные в матрице суждений необходимо уточнить.

Четвертый шаг: синтез глобальных приоритетов. В МАИ рекомендованы четыре способа обработки данных.

1. Суммировать элементы каждой строки и нормализовать делением каждой строки и нормализовать делением каждой суммы на суммы всех элементов. Сумма полученных результатов равна 1. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта и т.д.

2. Суммировать элементы каждого столбца и получить обратные элементы этих сумм. Нормализовать их так, чтобы сумма равнялась 1, разделив каждую обратную величину на сумму всех обратных величин.

3. Разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца, т.е. нормализовать столбец. Затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на число элементов в строке – усреднение по нормализованным столбцам.

4. Умножить n-элементов каждой строки и извлечь из произведения корень n-й степени. Нормализовать полученные числа.

В общем случае, когда матрица М[n] содержит элементы согласованности суждений, указанные способы дают различные результаты векторов приоритетов.

Последний пятый шаг: оценка согласованности всей иерархии. Описанный метод естественным образом распространяется на случай многоуровневой иерархии.