1.15 Краткие выводы

1. Цель математической теории упругости – определить напряжения и деформации при любых нагрузках на границе и внутри упругого тела любой форы.

В отличие от сопротивления материалов, базирующегося на гипотезе плоских сечений и других упрощенных предполо­жениях, теория упругости ставит целью относительно стро­гое решение задачи при минимальном количестве исходных гипотез.

Задачей точного решения в теории упругости является получение такой системы функций напряжений, смещений и деформаций, чтобы в каждой точке внутри тела были обеспе­чены условия равновесия и условия непрерывности (сплош­ности) тела, а у границы тела внутренние силы находились бы в равновесии с внешними силами, действующими на поверх­ностях (на границе) тела.

2. Для этой цели теория упругости располагает следую­щими группами уравнений:

а) тремя статическими, уравнениями, справедливыми для каждой точки внутри тела, из которых следует, что интен­сивности изменения (градиенты) нормальных и касательных напряжений вдоль координатных осей и сами напряжения между собой не являются независимыми и подчинены опре­деленным дифференциальным соотношениям (1.2).

б) шестью геометрическими уравнениями (1.15), справедливы­ми для каждой точки внутри тела, из которых, с одной стороны, следует, что компоненты деформации (удлинения и сдвиги) связаны дифференциальными соотношениями с функ­циями смещений, а с другой стороны (как следствие), интен­сивности изменения деформаций вдоль координатных осей и сами деформации между собой не являются независимыми и подчинены определенным дифференциальным соотношениям, именуемым уравнениями неразрывности деформации (1.17,а) и (1.17,б).

в) шестью физическими уравнениями (1.24), справедливыми для каждой точки внутри тела и связывающими компоненты напряжений в каждой точке с компонентами деформации для той же точки.

Иначе говоря, в каждом конкретном теле (со своими уп­ругими характеристиками) указанные непрерывные функции для компонентов напряжений, деформаций и смещений оказываются взаимосвязанными, т. е. существует связь не только между функциями, входящими в каждую отдельную группу, но одной группы уравнений с уравнениями другой группы. Эта взаимо­связь предопределяется физической природой исследуемого тела.

3. В указанные три группы уравнений, составляющие в итоге пятнадцать уравнений, входят пятнадцать неизвестных функций. Принципиально может быть найдено бесчисленное множество решений, каждое из которых обратило бы в тождество все перечисленные уравнения, т. е. обеспечило бы равновесие и непрерывность тела в окрестности любой точки внутри тела. Однако каждое из таких решений соответство­вало бы своим особым статическим условиям (внешним нагрузкам) и кинематическим условиям на поверхности тела (наличие или отсутствие тех или иных связей). Поэтому истинным решением задачи будет то, которое увязано с конкретными, заданными граничными условиями и потому конкретное решение должно удовлетворять действительным граничным условиям. Часто эти условия задаются в статическом плане и для каждой точки на грани­це тела представляются тремя граничными условиями (1.4).

Задача №1

На гранях параллелепипеда замерены напряжения (см. таблицу). Аналитически и графически определить главные напряжения и главные площадки, вычислите и главные деформации.

, .

1я цифра шифра				2я цифра шифра
0	20	-10	50	0	15	0	0
1	-20	10	-35	1	0	10	0
2	50	-15	-20	2	0	0	15
3	10	-25	45	3	25	0	0
4	-15	35	-45	4	0	15	0
5	-25	20	15	5	0	0	30
6	35	-45	10	6	10	0	0
7	-40	50	-25	7	35	0	0
8	45	-25	30	8	0	25	0
9	-35	15	-25	9	20	0	0

Задача №2

Полуплоскость загружена силами и . В уровне «h» на отрезке «а» постройте эпюры напряжений и , в точке вычислите горизонтальное нормальное напряжение и исследуйте напряженное состояние.

1я цифра шифра			2я цифра шифра	а	h
0	12	6	0	4	2
1	14	10	1	6	3
2	16	12	2	8	4
3	18	8	3	10	5
4	20	14	4	12	6
5	22	6	5	4	8
6	24	10	6	6	2
7	26	12	7	8	3
8	28	8	8	10	4
9	30	4	9	12	5