Домашнее задание.

13. Докажите: при любом натуральном .

14. Докажите: при любом натуральном .

15. Докажите: при любом натуральном .

16. Докажите, что в любом n-угольнике количество диагоналей равно (двумя способами).

17. Докажите, что делится на 9 при любом натуральном n.

18. Докажите, что делится на 19 при любом натуральном n.

19. Докажите неравенство Бернулли: при .

20. Некоторый город состоит из n домов. Какое наибольшее число заборов можно построить в этом городе, соблюдая следующие условия: 1) заборы не должны пересекаться; 2) каждый забор ограничивает хотя бы один дом; 3) никакие два забора не ограничивают один и тот же набор домов?

Листочек 5

Индукция

0. Плоскость поделена на области несколькими прямыми. Докажите, что эти области можно раскрасить в два цвета так, чтобы любые две соседних области были окрашены в разные цвета. (Соседними называются области, имеющие общий участок границы).

Иногда в индукционном переходе удобно предполагать истинность не только , но и предыдущих утверждений ( .

Иногда не удаётся осуществить переход от непосредственно к . Зато удаётся перейти от к, скажем, . В таком случае в качестве базы необходимо проверять не только , но и (индукция с несколькими базами).

0. Докажите, что с помощью гирек массой 3г и 5г можно отмерить на чашечных весах любое количество грамм, начиная с 8 (гирек неограниченное количество).

1. Докажите, что всякий (не обязательно выпуклый) многоугольник можно разделить на треугольники непересекающимися диагоналями (воспользоваться леммой о наличии у всякого многоугольника целиком лежащей в нём диагонали).

2. Докажите, что если число – целое, то и число – целое при любом натуральном .

3. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных степеней двойки (возможно, включая нулевую).

4. Докажите, что квадрат можно разрезать на любое количество квадратов, начиная с шести.

5. Последовательность задана рекуррентно: при всех натуральных . Докажите, что для любого натурального .

6. Докажите, что при любых натуральных и .

Домашнее задание.

Последовательность Фибоначчи определяется условиями:

, , .

Докажите четыре тождества для чисел Фибоначчи:

0. .

1. .

2. .

3. .

4. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности Фибоначчи.

5. Посчитайте сумму ряда: .

6. Докажите, что из любых натуральных чисел можно выбрать ровно , сумма которых делится на .

7. Докажите, что при .

Листочек 6

Теория чисел

Определение. Натуральное число a делится на натуральное число b, если существует натуральное число k, такое что a=bk. Обозначение .

Деление с остатком. Для любых натуральных чисел a и b имеется единственное представление вида: , где q, r – целые, и . Такие q и r называются, соответственно, частным и остатком при делении a на b.

1. Число a не делится ни на 2, ни на 3. Найдите остаток от деления числа на 6.

2. Докажите, что при любом целом a число не делится на 3.

3. Докажите, что сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел при делении на 4 даёт остаток 1.

Определение. Наибольшим общим делителем двух целых чисел a и b называется наибольшее натуральное число d, т. ч. . Обозначается: .

4. Пусть Докажите, что тогда НОД =НОД(b,r).

Алгоритм Евклида. Пусть – пара положительных чисел, такая что . Заменим её на пару , где r – остаток от деления a на b. Пару заменим по тому же правилу и т. д. Тогда этот процесс остановится на паре и .

Пример:

5. Используя предыдущую задачу, докажите, что в процессе алгоритма Евклида мы действительно получаем НОД чисел a и b.

6. Вычислите при помощи алгоритма Евклида а) ;

б) .

7. Покажите, как при помощи алгоритма Евклида можно по произвольным натуральным a и b найти такие целые числа k и l, что .

8. Докажите, что уравнение имеет решение в целых числах тогда и только тогда, когда d делится на В частности, – это наименьшее натуральное число, представимое в виде .

9. Найдите какие-нибудь целые числа x и y такие, что