Домашнее задание.
В школе 30 классов и 995 учеников. Докажите, что в ней имеется класс, в котором не менее 34 учеников.
Докажите, что из 82 выкрашенных в определённый цвет кубиков, можно выбрать или 10 кубиков разных цветов, или 10 кубиков одного цвета.
Докажите, что найдётся число вида
,
делящееся на 2013.Докажите, что найдётся число, последние четыре цифры которого 2015, и которое делится на 2013.
Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.
Плоскость произвольным образом покрашена в два цвета. Докажите, что
существует отрезок длины x,
у которого оба конца одного цвета.
Домашнее задание.
Витя хочет найти такое выражение, состоящее из единиц, скобок, знаков
и
такое, что
– его значение равно 10;
– если в этом выражении заменить все знаки на знаки , а знаки на знаки , всё равно получится 10.
Приведите пример такого выражения.
Ваня записал несколько простых чисел, использовав ровно по одному разу все цифры от 1 до 9. Сумма этих простых чисел оказалась равной 225. Можно ли, использовав ровно по одному разу те же цифры, записать несколько простых чисел так, чтобы их сумма оказалась меньше?
Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты – ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?
Миша заметил, что на электронном табло, показывающем курс доллара к рублю (4 цифры, разделенные десятичной запятой), горят те же самые четыре различные цифры, что и месяц назад, но в другом порядке. При этом курс вырос ровно на 20%. Приведите пример того, как такое могло произойти.
Натуральные числа от 1 до 2014 как-то разбили на пары, числа в каждой из пар сложили, а полученные 1007 сумм перемножили. Мог ли результат оказаться квадратом натурального числа?
На занятии кружка 10 школьников решали 10 задач. Все школьники решили разное количество задач; каждую задачу решило одинаковое количество школьников. Один из этих десяти школьников, Боря, решил задачи с первой по пятую и не решил задачи с шестой по девятую. Решил ли он десятую задачу?
Листочек 4
Индукция
Метод
математической индукции.
Пусть имеется последовательность
утверждений:
Для того, чтобы доказать справедливость
всех
утверждений этой последовательности,
достаточно:
Доказать истинность утверждения (база индукции);
Доказать, что при любом натуральном
из справедливости утверждения
следует справедливость утверждения
(шаг
индукции).
Иными
словами, индукционный
переход
заключается в переходе от предположения
индукции
(утверждение верно при
)
к заключению
(утверждение верно при
.
Докажите:
при любом натуральном
.Докажите:
при любом натуральном
.Докажите:
при любом натуральном
(двумя способами).Докажите, что сумма углов выпуклого n-угольника равна
.Докажите, что
делится на 9 при любом натуральном n.Докажите, что
делится на 7 при любом натуральном n.Докажите, что
делится на
при любом натуральном n.Докажите, что число
(243 единицы) делится на 243.Докажите, что модуль суммы любого числа слагаемых не превосходит суммы модулей этих слагаемых.
Докажите, что при любом натуральном справедливо неравенство
.При каких натуральных n выполнено: а)
;
б)
?На сколько частей делят плоскость прямых общего положения (среди них нет параллельных, и никакие три прямые не пересекаются в одной точке)?