Листочек 1
Теория множеств
Определение.
Множество
называется подмножеством
множества
,
если каждый элемент множества
принадлежит множеству
.
Обозначение
.
Пустое
множество является подмножеством любого
множества.
Докажите, что множество является подмножеством множества тогда и только тогда, когда любой элемент, не принадлежащий , не принадлежит множеству .
Сколько подмножеств у множества из одного элемента? Из двух элементов? Трёх элементов?
Определение.
Множества
и
равны, если
и
,
т.е. если они состоят из одних и тех же
элементов.
Определение. Пересечением множеств A и B называется множество
В
частности, пересечением бесконечного
семейства множеств называется множество,
состоящее из тех и только тех элементов,
которые принадлежат каждому множеству
этого семейства.
Определение. Объединением множеств A и B называется множество
В
частности, объединением бесконечного
семейства множеств называется множество,
состоящее из тех и только тех элементов,
которые принадлежат хотя бы одному
множеству этого семейства.
Определение. Разностью множеств А и В называется множество
.
Симметрической
разностью
множеств А и В называется множество
.
Изобразите следующие множества (круги Эйлера): а)
,
б)
,
в)
.
Докажите, что для любых множеств A, B и С справедливы соотношения
а)
б)
Докажите, что для любых множеств X, A и B справедливы соотношения (формулы де Моргана): а)
б)
.Известно, что
Верно ли тогда, что
?Известно, что
,
,
.
Следует ли отсюда, что
?
Домашнее задание.
Верно ли, что множество говорящих динозавров является подмножеством множества детей Москвы?
Докажите, что для любых множеств A, B и С справедливы соотношения
а)
б)
Изобразите следующие множества (круги Эйлера): а) )
Известно, что Верно ли тогда, что ?
Известно, что , , . Следует ли отсюда, что ?
Сколько различных подмножеств имеет множество из n элементов?
Листочек 2
Теория множеств
В классе 30% учеников учатся без троек по биологии и 50% учатся без троек по литературе. Сколько процентов учеников класса успевают без троек по обоим предметам, если 40% учеников имеют тройки и по биологии, и по литературе.
Среди философов каждый седьмой – математик, а среди математиков каждый девятый – философ. Кого больше: философов или математиков?
Определение.
Мощностью
множества М называется количество
элементов в этом множестве. Обозначение:
.
Докажите формулу включения-исключения для трёх произвольных конечных множеств:
.
Сформулируйте аналогичное утверждение
для двух конечных множеств.Из 100 студентов университета английский язык знают 28 студентов, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из трёх языков?
Предположим, что справедливы следующие утверждения:
а) среди людей, имеющих телевизор, есть такие, которые не являются малярами;
б) люди, каждый день купающиеся в бассейне, но не являющиеся малярами, не имеют телевизоров.
Следует ли отсюда, что не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне?
Докажите:
.Докажите:
Дано множество
из
элементов, в котором выбрано несколько
подмножеств. Известно, что любое
невыбранное подмножество множества
представляется в виде пересечения
некоторых выбранных подмножеств. Какое
наименьшее число подмножеств могло
быть выбрано?
Домашнее задание.
Ася, Настя и Катя посмотрели в совокупности 100 фильмов, причём каждая посмотрела ровно 60 фильмов. К тому же, те фильмы, которые посмотрели менее двух девочек, оказались хорошими, а фильмы, которые посмотрели все трое, оказались глупыми. Насколько отличается количество хороших фильмов от количества глупых фильмов?
Даны множества:
.
Найдите
множества: а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
.
Пусть пересечение множеств
и
пусто. Докажите:
.
Можно ли записать пересечение двух множеств, используя только разность и объединение?
Можно ли записать разность двух множеств, используя только объединение и пересечение?
Листочек 3
Принцип Дирихле
Принцип Дирихле. Если по n клеткам рассадить больше n кроликов, то найдётся клетка, в которой сидит больше одного кролика.
Обобщённый
принцип Дирихле.
Если в n
клетках сидит не менее
кроликов, то найдётся клетка, в которой
сидит более k
кроликов.
Обоснуйте принцип Дирихле и обобщённый принцип Дирихле.
Машинистка, перепечатывая текст в 25 страниц, сделала 102 ошибки. Докажите, что найдётся страница, на которой сделано более четырёх ошибок.
В поход пошли ученики трёх классов. Руководитель не знает, кто в каком классе учится. Какое наименьшее число дежурных он должен назначить для того, чтобы среди них обязательно оказалось не менее трёх человек из одного класса?
Докажите, что если в n клетках сидит менее
кроликов, то найдутся две клетки, в
которых сидит одинаковое количество
кроликов (может быть, ни одного).
Докажите, что среди любых
натуральных чисел найдутся два числа
таких, что их разность делится на n.Докажите, что найдётся число вида
,
делящееся на 2015.Можно ли найти такие две (различные) степени числа 4, у которых а) последняя цифра одинакова? б) две последние цифры одинаковы? в) три последние цифры одинаковы?
Можно ли найти такую натуральную степень числа 3, которая оканчивается на …0001?