Тема 3. Статистическое изучение вариации

Вопросы

1. Понятие вариации. Задачи исследования вариации.

2. Показатели вариации и способы их расчета.

3. Расчет дисперсии сокращенными способами.

[1], [2], [3], [4], [6]

Методические указания к изучению темы

Для измерения степени колеблемости отдельных значений признака от средней исчисляются основные показатели вариации: дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Дисперсия (²) – это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической.

В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется:

– невзвешанная; (15)

– взвешенная. (16)

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:

– не взвешенное; (17)

– взвешенное. (18)

Коэффициент вариации (γ) является относительным показателем вариации и представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

. (19)

При этом совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33–35 %.

Расчёт дисперсии можно упростить, используя «метод моментов». Дисперсия в этом случае определяется по формуле:

² = k²  (m₂ – m₁²), (20)

где – начальный момент первого порядка; (21)

– начальный момент второго порядка, (21)

где k – величина интервала;

А – условное число, в качестве которого удобно использовать варианту с наибольшей частотой.

Рассмотрим пример расчёта показателей вариации. Имеются выборочные данные о стаже работников коммерческого банка (табл. 6).

Определите: средний стаж работы; дисперсию; среднее квадратическое отклонение; коэффициент вариации.

Таблица 6

Распределение работников банка по стажу работы

Стаж работы, лет	Среднемесячная численность работников, чел
До 3 3 – 5 5 – 7 7 – 9 Свыше 9	10 48 28 10 4
Итого	100

Для расчёта показателей сначала определим середины интервалов, (табл. 7).

Таблица 7

Расчёт дисперсии

Стаж работы, лет, хинт	Среднесписочная численность работников, чел. fi	Середина интервала, хi
До 3 3 – 5 5 – 7 7 – 9 Свыше 9	10 48 28 10 4	2 4 6 8 10	20 192 168 80 40	-3 -1 1 3 5	9 1 1 9 25	90 48 28 90 100
Итого	100	–	500	–	–	356

Решение:

1. средний стаж работы сотрудников определяется по формуле средней арифметической взвешенной и составляет:

(лет); (22)

2) дисперсия стажа:

; (23)

3. среднее квадратическое отклонение:

(года); (24)

3. коэффициент вариации:

%. (25)

Таким образом, средний стаж работы сотрудников коммерческого банка составляет 5 лет при среднем квадратическом отклонении 1,9 года. Поскольку коэффициент вариации – более 37 %, можно сделать вывод о том, что данная совокупность неоднородна, а средняя в ней нетипична.

Воспользуемся данными примера 4 и рассчитаем средний стаж и дисперсию по способу «моментов» Результаты расчётов содержаться в табл. 8.

Таблица 8

Расчёт показателей способом отсчёта от условного нуля

Стаж работы, лет	Численность работников, чел. fi	Середина интервала, xi	xi – A (A=6)	xi – A к (к=2)	(xi– A)fi к	(xi–A)2 к	(xi–A)2fi к
До 3 3-5 5-7 7-9 свыше 9	10 48 28 10 4	2 4 6 8 10	-4 -2 0 2 4	-2 -1 0 1 2	-20 -48 0 10 8	4 1 0 1 4	40 48 0 10 16
Итого	100	–	–	–	-50	–	114

1. Средний стаж работы:

(лет). (26)

2. Дисперсия по способу "моментов" получаем:

. (27)

Контрольные вопросы

1. Дайте определение вариации.

2. В чем заключается сущность показателей вариации?

3. Какие показатели вариации вы знаете?

4. По каким формулам можно рассчитать дисперсию?

5. Как исчисляется среднее квадратическое отклонение?

6. Чем оценивается однородность статистической совокупности?