11.4. Аппроксимация производных

Для метода конечных разностей, рассматриваемого в следующем разделе, потребуются аппроксимации значений производных в узлах равномерной сетки. Введем такую сетку на отрезке : . Обозначим для краткости: .

Для нахождения значений производных воспользуемся разложениями функции в ряд Тейлора:

(11.18)

Используя выражения (11.18), можно построить разные приближенные формулы для производных. Из первого разложения можно получить следующую формулу для первой производной:

. (11.19)

Эта формула называется правой производной и имеет первый порядок точности. Более подробно:

.

Здесь – некоторая точка в интервале .

Аналогично из второго разложения (11.18) найдем формулу для левой производной, также имеющей первый порядок точности:

. (11.20)

Вычитая из первого разложения (11.18) второе, получим формулу центральной производной:

. (11.21)

Формула центральной производной имеет второй порядок точности:

. (11.22)

Сложив оба разложения (11.18), найдем аппроксимационную формулу для второй производной:

. (11.23)

Формула для второй производной имеет второй порядок точности:

. (11.24)

Найдем также более точную “одностороннюю” аппроксимацию первой производной. Для этого воспользуемся разложениями:

Вычтя из первой формулы вторую и выделив из полученного выражения , получим аппроксимационную формулу, имеющую второй порядок точности:

. (11.25)

В частности, в левой граничной точке отрезка имеем:

. (11.26)

11.5. Метод конечных разностей

Вновь рассматриваем решение линейной краевой задачи для уравнения второго порядка:

, (11.27)

. (11.28)

Ищем решение дифференциального уравнения в узлах сетки с постоянным шагом:

Обозначим: – значения соответствующих функций в точке x_i.

В узлах сетки вместо производных, входящих в уравнение (11.27), подставим приближенные формулы (11.21), (11.23):

, .

Получим систему уравнений:

. (11.29)

Производные, входящие в краевые условия, также заменим подходящими аппроксимационными формулами. В итоге получим систему линейных алгебраических уравнений относительно значений неизвестной функции в узлах сетки . Таким образом, решение краевой задачи для дифференциального уравнения сводим к решению системы алгебраических уравнений.

Рассмотрим вначале простые примеры.

Пример 11.7. Рассмотрим решение краевой задачи:

.

В примере 11.5. эта задача была решена методом редукции к задаче Коши. Решим теперь эту задачу методом конечных разностей.

Сетка включает только три точки: , и неизвестным является только значение . Подставив в дифференциальное уравнение аппроксимации производных, получим уравнение для нахождения :

.

Подставив сюда все известные значения, найдем: . Вспомним, что точное значение равно .

Пример 11.8. Методом конечных разностей найдем решение краевой задачи:

.

Эта задача также решалась ранее методом редукции к задаче Коши (см. пример 11.6). Требуется найти всего лишь одно значение . Подставив в дифференциальное уравнение аппроксимации производных, получим уравнение для нахождения :

.

Подставив сюда все известные значения, найдем: . Вспомним, что точное значение равно .

Вернемся теперь к более общему случаю. Пусть требуется найти решение краевой задачи в узлах сетки Систему алгебраических уравнений (11.29) приведем к виду

(11.30)

где , , .

Рассмотрим вначале случай краевых условий, не включающих значений производных:

. (11.31)

В этом случае значения известны, и для нахождения неизвестных имеем систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей:

. (11.32)

Решая эту систему методом прогонки, исключим нижнюю диагональ матрицы системы. Для удобства в первом уравнении введем новые обозначения: . Затем последовательно вычислим коэффициенты:

В итоге приведем систему к виду:

После этого проведем обратную прогонку – вычисление значений . Из последнего уравнения найдем . Аналогично вычислим

.

На этом заканчиваются вычисления в случае простых краевых условий (11.31).

Рассмотрим теперь задачу с краевыми условиями, включающими значения производных (11.28). В этом случае необходимо использовать формулы для аппроксимации производных также и в краевых условиях. В левом краевом условии, в точке , применим формулу (11.26): . Получим уравнение:

(11.33)

В краевом условии в точке используем аппроксимационную формулу центральной производной . Получим уравнение:

(11.34)

Уравнения (11.33), (11.34) следует добавить к системе уравнений (11.32). В результате получим систему из уравнений относительно неизвестных . В новой системе нарушен трехдиагональный характер матрицы системы. Система имеет почти трехдиагональную матрицу; лишние ненулевые компоненты находятся только в первой и последней строках матрицы, соответствующих уравнениям (11.33) и (11.34).

Приведем матрицу системы к трехдиагональному виду. Вначале исключим из уравнения (11.33) слагаемое . Для этого, умножим первое из уравнений (11.30) на и прибавим полученное к уравнению (11.33). Приведем тем самым уравнение (11.33) к виду:

, (11.35)

где

Далее, исключим слагаемое в последнем из уравнений (11.30) . Для этого умножим данное уравнение на и вычтем из него уравнение (11.34). Получим в результате:

(11.36)

Уравнение (11.34) можно теперь исключить из дальнейшего рассмотрения. Объединив уравнение (11.35) и систему (11.30) с измененным последним уравнением, получим систему с трехдиагональной матрицей:

.

Для решения полученной системы уравнений используется метод прогонки. Приводим систему к виду:

.

Для этого последовательно вычисляем коэффициенты:

, ,

, ,

, .

На этом заканчивается этап прямой прогонки. Далее следует этап обратной прогонки – последовательное вычисление значений неизвестных:

На этом заканчиваются вычисления в случае общих краевых условий (11.28).

Рассмотрим более подробно уравнение

.

Для данного уравнения система разностных уравнений принимает вид:

Если при этом , то в матрице этой системы диагональные элементы преобладают: в каждой строке модуль диагонального элемента больше суммы модулей остальных элементов. В этом случае решение системы линейных алгебраических уравнений существует и единственно.

Теорема о порядке точности метода конечных разностей.

Если в краевой задаче

функции и дважды непрерывно дифференцируемы и при , то разностное решение равномерно сходится к точному с погрешностью при .

Доказательство.

При сделанном предположении имеет непрерывную четвертую производную. Тогда для погрешности аппроксимации справедливо соотношение

.

Следовательно, точное решение удовлетворяет разностному уравнению

или

Если из этого уравнения вычтем уравнение

,

То получим уравнение для погрешности :

Выберем такую точку , где достигает максимума; очевидно, что это не граничная точка. Учитывая условие , сравним в этой точке модули правой и левой частей уравнения:

.

Заменив в правой части на , мы только усилим неравенство. После сокращений получим:

.

Теорема доказана.

Замечание. Утверждение теоремы справедливо также для разностного решения уравнения общего вида ; в этом случае только усложняются выкладки при доказательстве.

Теорема дает мажорантную оценку погрешности метода конечных разностей. При некоторых дополнительных ограничениях можно получить асимптотическую оценку вида

,

где – некоторая функция. Из наличия асимптотической оценки следует возможность применения правила Рунге для апостериорной оценки погрешности и уточнения решения. Обозначим:

– точное решение краевой задачи в точке ,

– приближенное решение, полученное методом конечных разностей на сетке с шагом ,

– приближенное решение, полученное на сетке с шагом ,

– уточненное решение в точке .

Тогда по первой формуле Рунге с учетом второго порядка метода погрешность решения с шагом оценивается по формуле:

. (11.37)

Уточненное решение может быть найдено в соответствии со второй формулой Рунге:

(11.38)

Пример 11.9. Методом конечных разностей найдем решение краевой задачи:

.

В примере (11.8) было найдено решение этой задачи с шагом приращения аргумента . Это решение равно . Уменьшим теперь шаг вдвое, найдем оценку погрешности и уточним решение по правилу Рунге.

Подставив в дифференциальное уравнение аппроксимационные формулы для производных, получим алгебраическое уравнение:

.

Нам требуется найти решение в узлах сетки: . Учитывая краевые условия: – придем к системе уравнений:

Подставив сюда значения и , получим систему с численными коэффициентами, решение которой в среде Mathcad показано на рис. 11.3. Обозначим далее:

– решение дифференциального уравнения с шагом ,

– решение с шагом ,

– оценка погрешности решения ,

– уточненное решение,

– точное решение краевой задачи.

Результаты расчетов приведены в таблице. Для точки оценка погрешности решения равна . Для точек и оценка погрешности, полученная с помощью линейной интерполяции, равна . Вычитая оценки погрешности из решения с шагом , найдем уточненное решение . Результаты расчетов приведены в таблице. Для сравнения приведены точные значения . Видим, что применение правила Рунге заметно повышает точность результатов.

Таблица к примеру 11.9

x	y(x)
	–
	–