11.3. Метод редукции к задаче Коши

Рассмотрим сведение к начальной задаче линейной краевой задачи для уравнения второго порядка:

, (11.5)

. (11.6)

Предполагается, что функции – непрерывны, и .

Будем искать решение в виде линейной комбинации

, (11.7)

где – ненулевое решение однородного уравнения

, (11.8)

а – некоторое решение неоднородного уравнения (11.5).

Потребуем, чтобы первое из краевых условий (11.6) выполнялось при любых значениях постоянной С:

(11.9)

Для того чтобы равенство (11.9) было справедливо, должны быть выполнены равенства:

, (11.10)

. (11.11)

Для обеспечения справедливости равенств (11.10), (11.11) достаточно, например, положить

, (11.12)

где k – постоянная, отличная от нуля, и, также,

, (11.13)

и

. (11.14)

В частности, можем положить .

Тем самым, исходная краевая задача сведена к двум задачам Коши, где u есть решение однородного уравнения (11.8), удовлетворяющее начальным условиям (11.12), а v – решение неоднородного уравнения (11.5), удовлетворяющее условиям (11.13) или (11.14). При этом, для любого С функция удовлетворяет краевому условию на конце отрезка .

Подберем теперь постоянную С так, чтобы функция удовлетворяла условию на втором конце отрезка :

Отсюда

. (11.15)

Предполагаем, что знаменатель в этом выражении не равен нулю. В этом случае задача имеет единственное решение. Если же оказалось, что , то задача либо совсем не имеет решений, либо имеет их бесконечно много.

Замечание. Если исходное уравнение (11.5) является однородным ( ), и, при этом, , то решение ищется в виде , где – решение однородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (11.12), и

. (11.16)

Пример 11.5. Методом редукции к задачам Коши найдем решение краевой задачи:

.

Для решения задачи Коши используем метод Эйлера. При заданном значении шага требуется найти только одно значение неизвестной: .

Ищем решение в виде: , где – решение однородного уравнения, удовлетворяющее левому краевому условию. Очевидно, что это краевое условие выполняется при любом , если . Значение производной можем выбрать произвольно. Положим, например, .

Решаем сформулированную начальную задачу. Преобразуем уравнение к системе нормальных уравнений:

.

Решение: .

По формуле (11.16) вычисляем: . Следовательно, .

Точное решение этой краевой задачи описывается формулой:

, и .

Пример 11.6. Методом редукции к задаче Коши найдем решение краевой задачи:

.

Для решения задачи Коши используем метод Эйлера. При заданном значении шага требуется найти только одно значение неизвестной: .

Ищем решение в виде: , где и – соответственно, решения однородного и неоднородного уравнений. Левое краевое условие выполняется при любом значении , если . Значения производных можно выбрать произвольно, например, . Решаем сформулированные задачи Коши, преобразовав уравнения второго порядка к нормальным системам:

Решаем:

По формуле (11.15) , и .

Точное решение этой краевой задачи равно

, .