- 16 -

Калинин Б.Н.

Глава 11 решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Содержание

11.1. Постановка задачи 2

11.2. Линейная краевая задача 2

11.3. Метод редукции к задаче Коши 3

11.4. Аппроксимация производных 5

11.5. Метод конечных разностей 6

11.6. Метод пристрелки 10

Задачи 14

Вопросы для повторения 15

11.1. Постановка задачи

Краевая задача для уравнения n-го порядка ( )

(11.1)

заключается в следующем: найти решение уравнения, удовлетворяющее в заданной системе точек n независимым условиям.

Наиболее часто рассматриваются двухточечные краевые задачи. В таких задачах условия заданы только на концах отрезка , на котором требуется найти решение дифференциального уравнения.

Пример 11.1. Найти решение уравнения второго порядка

,

у довлетворяющее краевым условиям: . Геометрически это означает: найти интегральную кривую, проходящую через точки .

Пример 11.2. Найти решение уравнения второго порядка

,

удовлетворяющее краевым условиям: . Геометрически это означает: найти интегральную кривую, пересекающую прямые под заданными углами: .

В общем случае краевая задача может

а) не иметь решений,

б) иметь единственное решение,

в) иметь несколько решений.

Пример 11.3. Краевая задача

имеет бесконечно много решений вида

Пример 11.4. Краевая задача

при имеет единственное решение

;

при не имеет решений.

11.2. Линейная краевая задача

Определим линейный дифференциальный оператор:

, (11.2)

где – известные, непрерывные на отрезке функции. Тогда неоднородное линейное дифференциальное уравнение можно записать в следующем виде:

, (11.3)

где – также непрерывная на функция.

Будем рассматривать двухточечные краевые условия. Краевые условия называются линейными, если они имеют вид:

, (11.4)

где – заданные постоянные, причем .

Линейная краевая задача состоит в нахождении решения линейного дифференциального уравнения (11.3), удовлетворяющего линейным краевым условиям (11.4). Предполагается, что краевые условия линейно независимы.

Линейная краевая задача называется однородной, если

Однородная краевая задача всегда имеет тривиальное решение . Разумеется, интерес представляют нетривиальные решения задачи. Для нахождения таких решений в дифференциальное уравнение или в краевые условия вводят параметр и ищут те значения параметра, при которых задача имеет нетривиальные решения. Соответствующие значения называются собственными значениями или характеристическими числами задачи. Соответствующие собственным значениям нетривиальные решения называются собственными функциями задачи.

Точное решение краевой задачи возможно лишь в редких случаях. Поэтому важны приближенные методы решения. Будем рассматривать точечно разделенные краевые условия, т.е. условия, каждое из которых содержит лишь одну из абсцисс. Рассмотрим вначале решение линейных краевых задач для уравнений второго порядка.