1) Сложение двух гармонических колебаний одного направления
а) Тело участвует в двух гармонических колебаниях с одинаковыми круговыми частотами , но с различными амплитудами и начальными фазами.
Уравнение этих колебаний запишутся следующим образом:
х1 = а1 cos(t + 1)
(2)
x2 = a2 cos(t + 2),
где х1 и х2 - смещения; а1 и а2 - амплитуды; - круговая частота обоих колебаний; 1 и 2 - начальные фазы колебаний.
Выполним
сложение этих колебаний при помощи
векторной диаграммы. Представим оба
колебания векторами амплитуд. Для этого
от произвольной точки О, лежащей на оси
х,
отложим два вектора
1
и
2
соответственно
под углами
1
и 2
к этой оси (рис.2).
Рис. 2
Проекции этих векторов на ось х будут равны смещениям х1 и х2 согласно выражению (2). При вращении обоих векторов против часовой стрелки с угловой скоростью проекции их концов на ось х будут совершать гармонические колебания. Так как оба вектора вращаются с одинаковой угловой скоростью , то угол между ними =1-2 остается постоянным. Сложив оба вектора 1 и 2 по правилу параллелограмма, получим результирующий вектор . Как видно из рис.2, проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов х=х1+х2. С другой стороны: х=а·cos(t+о).
Следовательно, вектор вращается с той же угловой скоростью, что и векторы 1 и 2 и совершает гармоническое колебание, происходящее вдоль той же прямой, что и слагаемые колебания, и с частотой, равной частоте исходных колебаний. Здесь о- начальная фаза результирующего колебания.
Как видно из рис.2, для определения амплитуды результирующего колебания можно использовать теорему косинусов, согласно которой имеем:
а2 = а12+ а22 - 2а1а2·cos[ - (2 - 1)]
или
а = а12 + а22 + 2а1а2·cos(2 - 1) (3)
Из выражения (3) видно, что амплитуда результирующего колебания зависит от разности начальных фаз (2 - 1) слагаемых колебаний. Если начальные фазы равны (2=1), то из формулы (3) видно, что амплитуда а равна сумме а1 и а2. Если разность фаз (2 - 1) равна ±180о (т.е. оба колебания находятся в противофазе), то амплитуда результирующего колебания равна абсолютному значению разности амплитуд слагаемых колебаний: а = |а1 - а2|.
б) Тело участвует в двух колебаниях с одинаковыми амплитудами, начальными фазами, равными нулю, и различными частотами.
Уравнения для этих колебаний будут иметь вид:
х1 = а·sin1t,
x2 = a·sin2t.
При этом предполагается, что 1 мало отличается по величине от 2. Сложив эти выражения, получим:
х=х1+х2=2а·cos(1-2)/2t+sin(1+2)/2t=
=2а cos(1-2)/2t sin t (4)
Результирующее движение представляет собой сложное колебание, называемое биениями (рис.3) Так как величина 1 -2 мала по сравнению с величиной 1 +2, то это движение можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой, равной полусумме частот складываемых колебаний =(1+2)/2, и переменной амплитудой.
Рис. 3
Из (4) следует, что амплитуда результирующего колебания меняется по периодическому закону косинуса. Полный цикл изменения значений функции косинуса происходит при изменении аргумента на 3600, при этом функция проходит значения от +1 до -1. Состояние системы, совершающей биения в моменты времени, соответствующие указанным значениям функции косинуса в формуле (4), ничем не отличаются. Другими словами, циклы биений происходят с периодичностью, соответствующей изменению аргумента косинуса в формуле (4) на 1800. Таким образом, период Та изменения амплитуды при биениях (период биений) определяется из условия:
Та = 2/(1 - 2).
Учитывая, что =2, получим:
Та = 2 /2 (1- 2) = 1/(1- 2). (5)
Частота изменения амплитуды результирующего колебания равна разности частот складываемых колебаний:
=1/Та=1-2.