Случайные погрешности

Случайной называется погрешность, которая вызывается действием не поддающихся контролю многочисленных, независимых друг от друга факторов.

Предположим, что эксперимент состоит в ряде повторных измерений некоторой физической величины, причем метод измерения и влияющие на эксперимент внешние условия сохраняются неизменными.

Если даже исключить возможность систематических погрешностей (путем специального исследования и проверки метода измерений), то все же окажется, что последовательные измерения дают различные результаты. Это явление объясняется действием большого количества факторов, общий эффект которых создает некоторую случайную погрешность. К числу таких факторов относятся, например, физиологические изменения органов чувств исполнителя, различные не учитываемые изменения в среде (температура, оптические, электрические и магнитные свойства, влажность и т. д.). Значение случайной погрешности колеблется от одного измерения к другому, что делает невозможным точное предсказание результата в каждом отдельном измерении.

Однако при рассмотрении повторных измерений обнаруживается характерная закономерность результатов, их определенная устойчивость, которая и служит основой для математической обработки опытных данных, вычисления случайных погрешностей.

Ошибки (промахи)

Промахом или ошибкой называют такую погрешность измерения, которая оказывается значительно больше ожидаемой при данных условиях.

Ошибки, значительно большие погрешностей других измерений, возникают по вине экспериментатора, сделавшего неверный отсчет, неверно записавшего результат измерения, допустившего ошибку при вычислении и т. д.

Если ошибка допущена в одном измерении из нескольких, сделанных верно, то, сравнивая числовые значения полученных результатов или их абсолютных погрешностей, ее можно интуитивно обнаружить: результат, полученный ошибочно, резко отличается от результатов других измерений, а абсолютная погрешность-ошибка — имеет значение, значительно превышающее абсолютные погрешности других измерений.

Следует учесть, что повторные измерения в одинаковых условиях могут и не выявить ошибку — она будет повторяться во всех измерениях. Для исключения такого случая следует провести измерения в других условиях или через некоторое время.

Ошибка обязательно должна быть исключена из результатов измерений. Существует более строгий, чем интуитивный, метод обнаружения ошибки, он будет рассмотрен ниже.

Итак, систематические погрешности можно устранить или учесть, промахи (ошибки) следует отбросить, а случайные погрешности необходимо учитывать путем специальной математической обработки результатов, полученных при измерении.

§ 2. Определение случайных погрешностей при прямых измерениях Математическая обработка результатов измерений

Случайные погрешности имеют статистический характер, их математическая обработка производится с помощью теории вероятностей. При многократном измерении равновероятно получить результат как больший, так и меньший, чем истинное значение измеряемой величины.

Пусть проведено п измерений величины х; и в результате получено п значений: х₁, х₂,..., х_п. Величина

, (1)

называемая средним арифметическим значением, является хорошим приближением к истинному значению измеряемой величины и иногда используется как окончательный итог серии измерений.

Рассмотрим несколько этапов упрощенной математической обработки результатов измерений и оценим возникающие при этом погрешности:

1. Находим среднее арифметическое значение x_ср измеряемой величины.

2. Вычисляем абсолютные погрешности результатов отдельных измерений.

Абсолютной погрешностью отдельного измерения |x_i| называется разность между средним значением измеряемой величины и значением, полученным при данном измерении:

|x_i| =|x_i – x_ср| (i=1, 2,..., n ) (2)

Абсолютная погрешность имеет размерность измеряемой величины и характеризует качество отдельных измерений: те измерения, у которых абсолютная погрешность меньше, выполнены более точно. Знак «+» (или «-») у абсолютной погрешности данного измерения показывает, что результат, полученный при данном измерении, получился больше (или меньше) среднего значения измеряемой величины.

3. Вычисляем среднюю абсолютную погрешность опыта. Она находится как среднее арифметическое абсолютных значений абсолютных погрешностей отдельных измерений:

(3)

4. Вычисляем относительную погрешность опыта. Средняя абсолютная погрешность не характеризует точности измерения.

Пусть, например, =0,1 мм. Высокая ли точность была в данных измерениях? На этот вопрос нельзя ответить. Дело в том, что такая погрешность, допущенная, например, при измерении толщины оси маятника ручных часов, является недопустимо большой, а при измерении расстояния между двумя городами — излишне малой.

Для оценки точности, с которой определена измеряемая величина, используют понятие относительной погрешности:

(4)

Относительная погрешность показывает, какая часть абсолютной погрешности приходится на каждую единицу измеряемой величины. Это дает возможность оценивать точность проведенных измерений, качество работы.

Так, например, если при измерении бруска длиной l=1,5 см была допущена абсолютная погрешность 0,03 мм, а при измерении расстояния l =3,64·10⁵ км от Земли до Луны абсолютная погрешность составила 100 км, то может показаться, что первое измерение выполнено намного точнее второго. Однако о точности измерения можно судить по относительной погрешности, а она показывает, что второе измерение было выполнено в семь раз точнее первого:

ε_x=(0,03мм/15мм)100%=0,2%

и

ε_L=(100км/364000км)100%=0,03%.

Относительная погрешность позволяет производить сравнение точности измерений разнородных физических величин.

5. Записываем окончательный результат:

(5)

Если средняя абсолютная погрешность , то она определяет пределы, в которых лежит истинное значение измеряемой величины. Величина х измерена тем точнее, чем меньше интервал, в котором находится ее истинное значение:

Мы рассмотрели простейший способ математической обработки результатов измерений, полученных в эксперименте. Этот метод не дает точных результатов и поэтому в научных исследованиях, как правило, не применяется. Он используется для расчета систематических погрешностей или для расчета случайных погрешностей в условиях учебного процесса, когда проведено три измерения, т. е. этот метод является облегченным вариантом математической обработки результатов малого количества измерений.

Пример 1. С помощью метровой линейки, на которой указаны сантиметры и их половинки, была измерена длина тела. Результат измерения оказался 87,2 см. Десятые доли оценивались «на глаз».

Если проведено только одно измерение, то для оценки погрешности нужно воспользоваться характеристикой измерительного прибора, в данном случае линейки. Наименьшее деление ее 0,5 см, поэтому погрешность, которую мы допускаем, пользуясь такой линейкой - 0,25 см (половина меньшего деления шкалы). Однако если десятые доли сантиметров определяются «на глаз» (кроме 0,5), то сотые доли на этой линейке определены быть не могут, они недостоверны и поэтому 0,25 см округлим до 0,3 см. Окончательный результат записываем так: l=(87,2±3) см. Это означает, что измеряемая величина лежит в интервале между числами 86,9 и 87,5 см.

Пример 2. При. измерении диаметра стержня с помощью микрометра было сделано четыре измерения, результаты которых занесены в таблицу:

N	d, мм	d
1	7,32	-
2	7,85	0
3	7,89	0,04
4	7,80	0,05
Ср.зн.	7,85	0,03

1) Просматривая результаты измерений, замечаем, что результат первого измерения резко отличается от результатов всех других измерений. Интуитивно оценивая этот результат, как ошибочный (промах), исключаем его из дальнейших расчетов (отбрасываем). По данным таблицы вычисляем среднее значение диаметра и определяем погрешности: при измерении микрометром достоверными являются только сотые доли миллиметра;

2) ; ;

;

3)

4)

5) Окончательный результат записываем в виде: