27.Момент інерції матеріальної точки і абсолютно твердого тіла. Теорема Штейнера.

    Момент інерції матеріальної точки рівний

  Моментом інерції системи щодо осі обертання називається фізична величина, рівна сумі добутку мас nматеріальних точок системи на квадрати їх відстаней до розглянутої осі.

Момент інерції тіла у випадку безперервного розподілу маси рівний

-інтегрується по всьому об'єму.

 Якщо відомий момент інерції тіла щодо осі, що проходить через його центр мас, момент інерції щодо будь-якої іншої осі паралельної даної, визначається за допомогою теореми Штейнера: момент інерції тіла І щодо паралельної осі обертання дорівнює моменту інерціїІ_с щодо паралельної осі, що проходить черезцентр мас тіла, складеному здобутком маси mтіла на квадрат відстані а між осями

І = І_с + mа²

Наприклад, для обручу на рисунку момент інерції відносно вісі О'О' дорівнює

 

 

6. Момент інерції прямого стрижня довжиною  , вісь перпендикулярна стрижню й проходить через його кінець.

28.Момент сили. Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла.

Моме́нт си́ли — векторна фізична величина, рівна векторному добутку радіус-вектора, проведеного від осі обертання до точки прикладення сили, на вектор цієї сили. Момент сили є мірою зусилля, направленого на обертання тіла.

Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла.

При повороті тіла під дією сили   на нескінченно малий кут   точка прикладання сили проходить шлях   і робота дорівнює:

Оскільки

Тоді  , або 

Звідси рівняння динаміки обертального руху твердого тіла:

Якщо вісь обертання співпадає з головною віссю інерції, що проходить через центр мас, то має місце векторна рівність:

де J – головний момент інерції тіла.

29.Момент імпульсу твердого тіла. Закон збереження моменту імпульсу твердого тіла і його наслідки.

Моментом імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої точки О називається фізична величина, яка визначається векторним добутком:

Моментом імпульсу відносно нерухомої осі z називається скалярна величина, яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу, визначеного відносно довільної точки О даної осі.

Момент імпульсу твердого тіла відносно осі дорівнює сумі моментів імпульсів окремих частинок:

Продиференціювавши за часом, отримаємо:

Ще одна форма рівняння динаміки обертального руху твердого тіла у векторній формі:

Закон збереження моменту імпульсу: момент імпульсу замкненої системи зберігається:

При рівномірному обертанні твердого тіла відносно деякої осі z закон збереження моменту імпульсу рівносильний:

30.Кінетична енергія обертального руху тіла. Кінетична енергія тіла обертання в плоскому русі.

кінетична енергія тіла при обертальному русі дорівнює половині добутку моменту інерції тіла відносно осі обертання на квадрат її кутової швидкості.  Якщо тіло обертається навколо осі Oz, то швидкість будь-якої його точки   , де h_k – віддаль точки до осі обертання, а   – кутова швидкість тіла. Після підстановки цієї величини в загальний вираз отримаємо

Т_об =   .

Величина, яка стоїть у дужках, являє собою момент інерції тіла відносно осі z. Таким чином, остаточно знайдемо

 Плоскопаралельний рух. При цьому русі швидкості всіх точок тіла в кожен момент часу розподілені так, ніби тіло обертається навколо осі, перпендикулярної площині руху, яка проходить через миттєвий центр швидкостей Р (рис. 8.1). ТодіТ_плоск =   ,де J_Р – момент інерції тіла відносно вказаної осі;   – кутова швид­кість тіла.

Величина J_Р у в одержаному виразі буде змінною, оскільки положення центру Р при русі тіла весь час змінюється. Введемо замість J_Р постійний момент інерції J_Свідносно осі, яка проходить через центр мас С тіла. За теоремою Гюйгенса-Штейнера

J_Р = J_С + Md²,

де d = PC. Підставимо цей вираз для J_Р та врахуємо, що точка Р – миттєвий центр швидкостей, тоді

де v_C – швидкість центру мас С.Остаточно знайдемоТ_плоск =   .

Отже, при плоскопаралельному русі кінетична енергія тіла дорівнює енергії поступального руху зі швидкістю центра мас, складеною з кінетичною енергією обертального руху навколо центру мас.

31.Вільні вісі обертання. Поняття про гіроскоп. Прецесія. Прецесія земної вісі в просторі.\

При обертання тіла навколо нерухомої осі ця вісь утримується в незмінному положенні підшипниками. При обертанні незбалансованих частин механізмів осі (вали) зазнають певне динамічне навантаження, виникає вібрація, биття, і механізми можуть руйнуватися.

Гіроскопом (дзиґою) називається масивна симетрична тіло, яка обертається з великою кутовою швидкістю навколо осі симетрії, яка може змінювати свій напрям у просторі.Вільний гіроскоп. У цьому випадку моменти усіх зовнішніх сил, включаючи і силу тяжіння, відносно центра мас гіроскопа рівні нулю. Це можна реалізувати, помістивши гіроскоп в карданний підвіс (рис. 1.42). При цьому і момент імпульсу зберігається:   .

Тобто, розкручений гіроскоп зберігає свою вісь незмінною. У цьому можна переконатися, якщо дзиґу, «запущену» на паперовому листку, підкинути в повітря (рис. 1.43). Вільний гіроскоп, розкручений навколо осі симетрії, має значну стійкість. Дійсно, із основного закону динаміки обертового руху слідує:

   .Якщо інтервал часу Δt малий, то і зміна моменту імпульсу   також мала. Тобто при короткочасних діях навіть дуже значних сил обертання гіроскопа змінюється незначно. Гіроскоп наче б то чинить опір спробам змінити його момент імпульсу.

Преце́сія — повільне (у порівнянні зперіодом обертання тіла) зміщення осіобертання по конусу. Відкрита давньогрецьким астрономом Гіппархом.Наприклад, в астрономії — повільне обертання земної осі. Вісь цього конусаперпендикулярна до площини земної орбіти, а кут між віссю й твірною конуса дорівнює приблизно 23°5'. Період прецесії становить 25 796±2,5 років^{[Джерело?]} (Платонівський рік). Внаслідок прецесії точка весняного рівнодення рухається екліптикоюназустріч уявному річному рухові Сонця (випередження рівнодення), долаючи 50,29" на рік^[1], полюси світу зсуваються між зорями, екваторіальні координатизір постійно змінюються.Одночасно з прецесійним рухом земна вісь зазнає невеликих нутаційнихколивань із періодом 18,6 років та амплітудою 18,42".