Приложения Приложение п1. Сводная таблица основных формул матриц направляющих косинусов
Отметим, часто используемые соотношения, и представим их в виде справочной таблицы П.1.
Таблица П.1.
Сводная таблица
№ формулы |
Вид формулы |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
;
;
;
Приложение п2. Однородные координаты
При использовании однородных координат различные преобразования в трехмерном пространстве (перемещение) могут быть сведены к композиции двух элементарных преобразований – вращения (поворота) и переноса.
Этим преобразованиям
соответствуют матрицы, которые в
дальнейшем будем называть: однородная
матрица поворота системы координат –
;
однородная матрица параллельного
переноса системы координат –
;
однородная матрица обобщенного
перемещения, которая может включать в
себя и поворот и параллельный перенос,
–
(от английских слов: Turn
– поворот; Carry
– перенос; Moving
{movement}
– перемещение).
Рис.П.2.1.
Структура этих матриц имеет вид
;
;
.
(4.3)
Здесь
–
матрица направляющих
косинусов, определяющая ориентацию
осей системы координат
после их поворота;
–
единичная матрица
размером 33;
–
матрица-столбец,
состоящая из компонент вектора
,
определяющего местоположение начала
координат системы
после ее переноса в проекциях на оси
системы координат
.
–
однородная матрица
перемещения, определяющая положение
системы координат
относительно системы координат
и учитывающая и поворот и перенос системы
координат
.
Приложение п3. Вычисление кардановой погрешности гировертикали
Кардановые погрешности при измерении углов тангажа и крена ЛА гировертикалью (без следящих рам) с коррекцией от маятника могут быть представлены следующими соотношениями:
\
Для вычисления этих погрешностей и построения графиков зависимости погрешностей от истинных углов наклона могут быть использованы следующие программы (MatLab):
% FILE: UMP_1_1
clear
clc
clf
grd=180/pi;
gam=10/grd;
x=-90:90;
tet=x/grd;
alf=atan(tan(tet)/cos(gam));
dtet=(alf-tet)*grd;
plot(tet*grd,dtet,'-k')
xlabel('\bf\theta, \circ')
ylabel('\bf\Delta\theta, \circ')
hold on
grid on
----
% FILE: UMP_1_2
clear
clc
grd=180/pi;
tet=30/grd;
x=-90:90;
gam=x/grd;
alf=asin(sin(gam)*cos(tet));
dgam=(gam-alf)*grd;
plot(gam*grd,dgam,'-k')
xlabel('\bf\gamma, \circ')
ylabel('\bf\Delta\gamma, \circ')
hold on
grid on
Рис. П.3.1. График зависимости кардановой погрешности по углу тангажа
при разных значениях угла крена ЛА
Рис. П.3.2. График зависимости кардановой погрешности по углу крена
при разных значениях угла тангажа ЛА
Приложение п4. Матрицы направляющих косинусов ортогональных поворотов
Вид матрицы направляющих косинусов, в зависимости от порядка последовательности трех ортогональных поворотов, может быть определен по прилагаемой программе.
%FILE: UMP_1_3
clear
clc
grd=180/pi;
% alf1=0/grd; alf2=0/grd; alf3=0/grd;
syms alf1 alf2 alf3
C123=rotz(alf3)*roty(alf2)*rotx(alf1)
C132=roty(alf3)*rotz(alf2)*rotx(alf1)
C213=rotz(alf3)*rotx(alf2)*roty(alf1)
C231=rotx(alf3)*rotz(alf2)*roty(alf1)
C312=roty(alf3)*rotx(alf2)*rotz(alf1)
C321=rotx(alf3)*roty(alf2)*rotz(alf1)
C121=rotx(alf3)*roty(alf2)*rotx(alf1)
C131=rotx(alf3)*rotz(alf2)*rotx(alf1)
C212=roty(alf3)*rotx(alf2)*roty(alf1)
C232=roty(alf3)*rotz(alf2)*roty(alf1)
C313=rotz(alf3)*rotx(alf2)*rotz(alf1)
C323=rotz(alf3)*roty(alf2)*rotz(alf1)
-----------
C132 =
[ cos(alf3)*cos(alf2),
cos(alf3)*sin(alf2)*cos(alf1)+sin(alf3)*sin(alf1),
cos(alf3)*sin(alf2)*sin(alf1)-sin(alf3)*cos(alf1)]
[ -sin(alf2),
cos(alf2)*cos(alf1),
cos(alf2)*sin(alf1)]
[ sin(alf3)*cos(alf2),
sin(alf3)*sin(alf2)*cos(alf1)-cos(alf3)*sin(alf1), sin(alf3)*sin(alf2)*sin(alf1)+cos(alf3)*cos(alf1)]
C213 =
[ sin(alf3)*sin(alf2)*sin(alf1)+cos(alf3)*cos(alf1),
sin(alf3)*cos(alf2),
sin(alf3)*sin(alf2)*cos(alf1)-cos(alf3)*sin(alf1)]
[ cos(alf3)*sin(alf2)*sin(alf1)-sin(alf3)*cos(alf1),
cos(alf3)*cos(alf2),
cos(alf3)*sin(alf2)*cos(alf1)+sin(alf3)*sin(alf1)]
[ cos(alf2)*sin(alf1),
-sin(alf2),
cos(alf2)*cos(alf1)]
alf1=psi; alf2=teta; alf3=gamma.
C231 =
[ cos(alf2)*cos(alf1), sin(alf2), -cos(alf2)*sin(alf1)
sin(alf3)*sin(alf1)-cos(alf3)*sin(alf2)*cos(alf1), cos(alf3)*cos(alf2), sin(alf3)*cos(alf1)+cos(alf3)*sin(alf2)*sin(alf1)
cos(alf3)*sin(alf1)+sin(alf3)*sin(alf2)*cos(alf1), - sin(alf3)*cos(alf2), cos(alf3)*cos(alf1)-sin(alf3)*sin(alf2)*sin(alf1)]
C312 =
[ cos(alf3)*cos(alf1)-sin(alf3)*sin(alf2)*sin(alf1),
cos(alf3)*sin(alf1)+sin(alf3)*sin(alf2)*cos(alf1),
-sin(alf3)*cos(alf2)]
[ -cos(alf2)*sin(alf1),
cos(alf2)*cos(alf1),
sin(alf2)]
[ sin(alf3)*cos(alf1)+cos(alf3)*sin(alf2)*sin(alf1),
sin(alf3)*sin(alf1)-cos(alf3)*sin(alf2)*cos(alf1),
cos(alf3)*cos(alf2)]
C321 =
[ cos(alf2)*cos(alf1),
cos(alf2)*sin(alf1),
-sin(alf2)]
[ sin(alf3)*sin(alf2)*cos(alf1)-cos(alf3)*sin(alf1),
sin(alf3)*sin(alf2)*sin(alf1)+cos(alf3)*cos(alf1),
sin(alf3)*cos(alf2)]
[ cos(alf3)*sin(alf2)*cos(alf1)+sin(alf3)*sin(alf1),
cos(alf3)*sin(alf2)*sin(alf1)-sin(alf3)*cos(alf1),
cos(alf3)*cos(alf2)]
C121 =
[cos(alf2),
sin(alf2)*sin(alf1),
-sin(alf2)*cos(alf1)]
[sin(alf3)*sin(alf2),
cos(alf3)*cos(alf1)-sin(alf3)*cos(alf2)*sin(alf1),
cos(alf3)*sin(alf1)+sin(alf3)*cos(alf2)*cos(alf1)]
[cos(alf3)*sin(alf2),
-sin(alf3)*cos(alf1)-cos(alf3)*cos(alf2)*sin(alf1),
-sin(alf3)*sin(alf1)+cos(alf3)*cos(alf2)*cos(alf1)]
C131 =
[cos(alf2),
sin(alf2)*cos(alf1),
sin(alf2)*sin(alf1)]
[-cos(alf3)*sin(alf2),
cos(alf3)*cos(alf2)*cos(alf1)-sin(alf3)*sin(alf1),
cos(alf3)*cos(alf2)*sin(alf1)+sin(alf3)*cos(alf1)]
[sin(alf3)*sin(alf2),
-sin(alf3)*cos(alf2)*cos(alf1)-cos(alf3)*sin(alf1),
-sin(alf3)*cos(alf2)*sin(alf1)+cos(alf3)*cos(alf1)]
C212 =
[ -sin(alf3)*cos(alf2)*sin(alf1)+cos(alf3)*cos(alf1),
sin(alf3)*sin(alf2),
-sin(alf3)*cos(alf2)*cos(alf1)-cos(alf3)*sin(alf1)]
[sin(alf2)*sin(alf1),
cos(alf2),
sin(alf2)*cos(alf1)]
[cos(alf3)*cos(alf2)*sin(alf1)+sin(alf3)*cos(alf1),
-cos(alf3)*sin(alf2),
cos(alf3)*cos(alf2)*cos(alf1)-sin(alf3)*sin(alf1)]
C232 =
[cos(alf3)*cos(alf2)*cos(alf1)-sin(alf3)*sin(alf1),
cos(alf3)*sin(alf2),
-cos(alf3)*cos(alf2)*sin(alf1)-sin(alf3)*cos(alf1)]
[-sin(alf2)*cos(alf1),
cos(alf2),
sin(alf2)*sin(alf1)]
[sin(alf3)*cos(alf2)*cos(alf1)+cos(alf3)*sin(alf1),
sin(alf3)*sin(alf2),
-sin(alf3)*cos(alf2)*sin(alf1)+cos(alf3)*cos(alf1)]
C313 =
[ -sin(alf3)*cos(alf2)*sin(alf1)+cos(alf3)*cos(alf1),
sin(alf3)*cos(alf2)*cos(alf1)+cos(alf3)*sin(alf1),
sin(alf3)*sin(alf2)]
[ -cos(alf3)*cos(alf2)*sin(alf1)-sin(alf3)*cos(alf1),
cos(alf3)*cos(alf2)*cos(alf1)-sin(alf3)*sin(alf1),
cos(alf3)*sin(alf2)]
[ sin(alf2)*sin(alf1),
-sin(alf2)*cos(alf1),
cos(alf2)]
C323 =
[cos(alf3)*cos(alf2)*cos(alf1)-sin(alf3)*sin(alf1),
cos(alf3)*cos(alf2)*sin(alf1)+sin(alf3)*cos(alf1),
-cos(alf3)*sin(alf2)]
[ -sin(alf3)*cos(alf2)*cos(alf1)-cos(alf3)*sin(alf1),
-sin(alf3)*cos(alf2)*sin(alf1)+cos(alf3)*cos(alf1),
sin(alf3)*sin(alf2)]
[sin(alf2)*cos(alf1),
sin(alf2)*sin(alf1),
cos(alf2)]
>> --------------------